miniaturadaimagem|Abraham De Moivre A fórmula de De Moivre afirma queBROWN, J. W.; RUEL, C. V. (2003). Complex Variables and Applications (7.ª edição). McGraw-Hill Science Engineering ISBN 9780072872521. Páginas 18 a 21.:
Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre números complexos (i é a unidade imaginária) com a trigonometria. A expressão:
é frequentemente abreviada por: .
ainda que a fórmula de Euler seja uma maneira mais comum de a descrever.
Abraham de Moivre foi amigo de Newton; em 1698 este último escreveu que esta fórmula era do seu conhecimento desde 1676.
A fórmula de De Moivre pode ser obtida da fórmula de Euler:
embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral:
Demonstração Vamos demonstrarA demonstração segue em grande parte a demonstração da referência anterior, ainda que seja ligeiramente diferente para evitar recorrer demasiado à fórmula de Euler. a fórmula para por indução e, depois generalizar, não recorrendo à fórmula de Euler. Queremos provar que
, e com sendo um número complexo.
Para a identidade é verdadeira, pois tem-se , que é a representação na forma polar de um número complexo (com e ).
Suponhamos agora que a propriedade se verifica para e provemos que também o é para . Temos:
Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas e .
Queremos agora generalizar para . Para , a propriedade é imediata se convencionarmos
Consideremos . Então:
Em que aplicamos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o quociente. Repare-se que agora estamos perante e não . Agora:
Aplicamos apenas a fórmula que já demonstramos para os números naturais, uma vez que, como é negativo, é positivo (natural).
Substituindo de volta por :
, Q.E.D.
Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para
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