thumb|400px|Três casos da concóide de Nicomedes segundo o valor da distância que é adicionada a cada raio vetor (o ponto vermelho é o polo, e a reta base — a preto — dista do polo ):[a] (azul); [b] (verde); [c] (vermelho).

A concóide de Nicomedes é uma curva plana concebida pelo matemático grego Nicomedes, que viveu aproximadamente na mesma época que Arquimedes, no século II a.C. O nome “concóide”, proveniente da palavra grega antiga “κογχοειδής”, refere-se ao facto de a forma da curva lembrar o perfil de uma concha. É um tipo de concóide cujos raios vetores, traçados a partir de um ponto fixo, intercetam uma reta (denominada “base”) a uma distância constante.

Dada uma reta base paralela ao eixo polar, situada a uma distância da origem, e uma distância fixa que se situa sobre cada raio vetor a partir do ponto onde este cruza a reta base (tanto para trás como para a frente), a equação em coordenadas polares da concóide de Nicomedes é:

que, em coordenadas cartesianas, assume a forma:

A relação entre os parâmetros e determina o aspeto dos dois ramos da curva.

Construção 250px|miniaturadaimagem|Polo (origem ), eixo polar (vermelho), reta base e distância fixa Fixa-se um ponto (chamado polo) e uma linha reta distante de . Considera-se agora uma segunda reta genérica que passa por e que interceta a reta em . Nesta reta, de ambos os lados em relação a , marcam-se dois segmentos , cada um com comprimento . O lugar geométrico dos pontos e , obtidos ao rodar a reta que passa por , denomina-se concóide de Nicomedes. A parte da curva mais afastada de (ou seja, ) denomina-se ramo externo; e a outra parte recebe o nome de ramo interno.

É imediato verificar que, para um sistema de coordenadas polares, a equação da concóide assume a forma:

Fazendo coincidir o ponto com a origem de um sistema de eixos cartesianos , tomando uma reta base paralela ao eixo a uma distância da origem, e uma distância a aplicar sobre os raios vetores, a equação cartesiana da curva é:

Por outro lado, as equações paramétricas assumem a forma:

Construção de tangentes e normais miniaturadaimagem|Normal de uma concóide de Nicomedes René Descartes, na sua obra “La Géométrie” (A Geometria), explica um método que permite desenhar a normal e, consequentemente, a tangente da concóide de Nicomedes.

Expõe-se aqui brevemente o método: Pretende-se traçar a normal de uma concóide de Nicomedes com polo e módulo num ponto . A reta diretriz desta concóide chamar-se-á , onde é tal que e são perpendiculares a . Desenhar o segmento de modo que seja a interseção entre as retas e . Marcar o ponto de maneira a que pertença a e . Marcar o ponto na reta perpendicular a que passa por , de modo que . A reta é, então, a normal à curva em .

Trissecção de um ângulo 300px|miniaturadaimagem|Trissecção de um ângulo A curva pode ser utilizada para resolver o problema da trissecção do ângulo. Seja um ângulo arbitrário. A partir de um ponto qualquer do lado , traça-se a perpendicular ao lado , e considera-se a concóide construída sobre a reta em relação ao polo com constante .

A reta paralela a traçada a partir de encontra o ramo externo da concóide em . Unindo a , tem-se então que:

O inconveniente deste procedimento é que obrigaria a traçar uma concóide à medida para cada ângulo que se deseja trissectar, embora baste utilizar o método neusis para ajustar uma régua com duas marcas (situadas ao dobro da distância ) entre as retas e , a qual deve também passar pela origem. Isto não acontece com outras trissectrizes (como, por exemplo, a trissectriz de Maclaurin), que permitem trissectar qualquer ângulo com a mesma curva.

Demonstração miniaturadaimagem|upright|Concóide de Nicomedes Sejam o ponto de interseção de com , e o ponto médio de . Pela definição de concóide , tem-se que:

e, portanto:

Por outro lado, é um ângulo reto; logo , sendo a mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo , mede metade da própria hipotenusa, ou seja:

Daqui deduz-se que os triângulos , e são isósceles e, portanto:

Mas porque são ângulos alternos internos e, portanto, , ou ainda:

como fica demonstrado.

Duplicação do cubo 400px|miniaturadaimagem|Duplicação do cubo através de uma concóide de Nicomedes

A construção gráfica que permite determinar o valor de , necessário para resolver o problema da duplicação do cubo, pode ser gerada através do seguinte procedimento: Parte-se da medida dada da aresta do cubo a duplicar, denominada . Constrói-se o retângulo , cuja base mede e cuja altura mede . Determina-se , o ponto médio de , pelo qual se traça uma reta vertical. Traça-se a circunferência com centro em e raio , que interseta no ponto e corta a reta vertical que passa por , abaixo de , no ponto . Traça-se a reta , paralela a e que passa por . Agora, constrói-se o ramo externo de uma concóide de Nicomedes com o ponto como polo, a reta como reta base e a distância . Determina-se o ponto como a interseção da concóide com a reta . A reta corta a reta no ponto .

Finalmente, verifica-se que a distância é .

Ver também Caracol de Pascal

Ligações externas

Categoria:Curvas algébricas