A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:
(0.1)
onde é um qualquer número real. Para e esta equação diferencial não é linear.
Desenvolvimento Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.
Começamos por dividir ambos membros por
(0.2)
Seja agora
Derivando obtemos
Multiplicando ambos membros de (0.2) por fica
(0.3)
Ou seja,
(0.4)
A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, e contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir por
Exemplo Vamos resolver a seguinte equação diferencial (0.5)
Dividindo ambos os membros por fica
(0.6)
Pondo
A equação (0.6) é equivalente a
(0.7)
Substituindo por vem
(0.8)
Usando a notação anterior,
e
onde
e
A solução geral de (0.8) é dada por
ou seja,
(0.9)
Para (0.9) é equivalente a
ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,
Substituindo por vem
ou ainda,
Ver também Equação diferencial Equação diferencial linear
Referências . Cited in . .
Ligações externas
Categoria:Equações diferenciais