Em geometria, um hipercubo é uma figura geométrica que generaliza o quadrado (2 dimensões) e o cubo (3 dimensões) para espaços com qualquer número de dimensões, chamados de n-dimensões. É uma forma fechada, compacta e convexa, composta por segmentos de reta paralelos, todos do mesmo tamanho, alinhados em cada dimensão do espaço e formando ângulos retos entre si.
thumb|Animação do octácoro (ou tesserato), um hipercubo de 4 dimensões.
Um hipercubo de dimensão N é o conjunto de pontos no espaço euclidiano N-dimensional que satisfazem as desigualdades , onde é o comprimento da aresta do hipercubo.
Também é possível definir um hipercubo como o produto cartesiano de N segmentos iguais.
Outra forma de caracterizar o N-cubo é como uma figura geométrica em que cada vértice está ligado por arestas a N outros vértices; N determina, por sua vez, a dimensão dessa figura. Ainda, um cubo N-dimensional pode ser entendido como formado por N pares de hiperplanos paralelos de dimensão (N−1), o que resulta em 2N células (ou hiperfaces), cada uma sendo um (N−1)-cubo.
De forma geral, o número de faces K-dimensionais de um cubo N-dimensional é dado por , onde representa o número de grupos de faces K-dimensionais paralelas (ou o número de faces K-dimensionais adjacentes a um vértice), e é o número de faces K-dimensionais em cada grupo.
Um hipercubo de n dimensões é chamado de n-cubo. Por exemplo: Um 2-cubo é um quadrado; Um 3-cubo é um cubo; Um 4-cubo é um tesserato (ou octácoro).
O conceito foi estudado por matemáticos como Harold Scott MacDonald Coxeter e E. L. Elte (1912), que o chamaram de "polítopo de medida".
O que é um hipercubo? Um hipercubo é uma figura que existe em espaços com mais dimensões do que as três que vemos (comprimento, largura e altura). Podemos entender sua construção por etapas:
0 dimensão: Um ponto. 1 dimensão: Um segmento de reta, ao mover o ponto. 2 dimensões: Um quadrado, ao mover o segmento perpendicularmente. 3 dimensões: Um cubo, ao mover o quadrado perpendicularmente ao seu plano. 4 dimensões e além: Um hipercubo surge ao mover um cubo (ou hipercubo menor) em uma direção perpendicular a todas as anteriores.
Como dimensões acima da terceira são difíceis de visualizar, usamos projeções 2D (como nas animações) ou analogias. Por exemplo, um tesserato (4-cubo) pode ser pensado como dois cubos conectados em uma quarta dimensão.
Definição matemática Um hipercubo pode ser definido de várias formas:
Coordenadas: Um hipercubo unitário em n dimensões é o conjunto de pontos em ℝⁿ cujas coordenadas são 0 ou 1, formando 2ⁿ vértices. Por exemplo, um quadrado (2-cubo) tem vértices (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Um hipercubo geral com lado a e centro x contém pontos y tais que |yᵢ - xᵢ| ≤ a/2 para cada coordenada i. Produto cartesiano: Um hipercubo é o produto cartesiano de n intervalos iguais, como [0,1]ⁿ para um hipercubo unitário. Esqueleto: O esqueleto de 1 dimensão de um hipercubo (suas arestas) forma um grafo chamado grafo hipercubo, onde cada vértice se conecta a n outros.
Propriedades As propriedades matemáticas de um hipercubo n-dimensional com aresta de comprimento a são:
+ Resumo das propriedades do n-cubo Propriedade Fórmula geral Exemplo (n=4, a=1) Número de vértices 16 Número de arestas 32 Número de faces 2D (quadrados) 24 Número de células 3D (cubos) 8 Volume (n-hipervolume) 1 Área da superfície ((n−1)-volume) 8 Comprimento da diagonal 2 Raio da hiperesfera circunscrita 1 Raio da hiperesfera inscrita 0,5
Diferentes Hipercubos N-Cubo Imagem (projeção 2D) Nome Pontos(0) Segmentos(1) Quadrados(2) Cubos(3) Tesseractos(4) Penteractos(5) Hexeractos(6) Heptaractos(7) Octeractos(8) Ennearactos(9) Dekeractos(10) 0-cubo 6px Ponto 10 1-cubo 50px Segmento 2 10 2-cubo 50px Quadrado 4 4 10 3-cubo 50px Cubo 8 12 6 10 4-cubo 50px Tesserato 16 32 24 8 10 5-cubo 50px Penterato 32 80 80 40 10 10 6-cubo 50px Hexerato 64 192 240 160 60 12 10 7-cubo 50px Heptarato 128 448 672 560 280 84 14 10 8-cubo 50px|Octeracto Octerato 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 10 9-cubo 50px Ennearato 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 10 10-cubo 50px Dekerato 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1
Hipercubos de dimensões maiores, como o 6-cubo (hexeracto) ou 10-cubo (dekeracto), seguem o mesmo padrão.
Aplicações Hipercubos são usados em diversas áreas:
Matemática: Estudados em geometria multidimensional e topologia, como politopos regulares. Computação: Inspiram arquiteturas de redes, como em supercomputadores, devido à estrutura simétrica do grafo hipercubo. Física: Modelos de dimensões extras, como em teorias de cordas, usam conceitos de hipercubos. Estatística: A amostragem por hipercubo latino distribui pontos uniformemente em espaços multidimensionais, útil em simulações.
Hipercubos na cultura Hipercubos aparecem em ficção científica e arte, simbolizando dimensões superiores:
And He Built a Crooked House (1941), de Robert A. Heinlein, descreve uma casa em forma de tesserato. Flatland (1884), de Edwin A. Abbott, explora dimensões extras. Crucifixion (Corpus Hypercubus) (1954), de Salvador Dalí, mostra uma cruz como tesserato.
Ver também
Tesserato Polítopo Geometria multidimensional Hiperesfera Simplex
Referências
Categoria:Geometria Categoria:Polítopos