thumb| Uma função de onda para um único elétron no orbital atômico 5d de um átomo de hidrogênio. O corpo sólido mostra os locais onde a densidade de probabilidade do elétron está acima de um certo valor (aqui 0,02 nm−3): isto é calculado a partir da amplitude de probabilidade. A matiz na superfície colorida mostra a fase complexa da função de onda. Na mecânica quântica, uma amplitude de probabilidade é um número complexo usado para descrever o comportamento de sistemas. O quadrado do módulo dessa quantidade em um ponto no espaço representa uma densidade de probabilidade naquele ponto.
As amplitudes de probabilidade fornecem uma relação entre o estado quântico de um sistema e os resultados das observações desse sistema, uma ligação que foi proposta pela primeira vez por Max Born, em 1926. A interpretação dos valores de uma função de onda como a amplitude de probabilidade é um pilar da interpretação de Copenhague da mecânica quântica. De fato, as propriedades do espaço de funções de onda estavam sendo usadas para fazer previsões físicas (como as emissões de átomos ocorrendo em certas energias discretas) antes mesmo que qualquer interpretação física de uma função específica fosse oferecida. Born recebeu metade do Prêmio Nobel de Física de 1954 por esta compreensão, e a probabilidade assim calculada é às vezes chamada de "probabilidade de Born". Esses conceitos probabilísticos, nomeadamente a densidade de probabilidade e as medições quânticas, foram vigorosamente contestados na época pelos físicos originais que trabalhavam na teoria, como Schrödinger e Einstein. É a fonte das consequências misteriosas e das dificuldades filosóficas nas interpretações da mecânica quântica — tópicos que continuam a ser debatidos até hoje.
Visão geral física Negligenciando algumas complexidades técnicas, o problema da medição quântica é o comportamento de um estado quântico, para o qual o valor do observável a ser medido é incerto (ver princípio da incerteza). Pensa-se que tal estado seja uma superposição coerente dos autoestados do observável, estados nos quais o valor do observável é definido de forma única, para diferentes valores possíveis do observável.
Quando uma medição de é feita, o sistema (sob a interpretação de Copenhague) salta para um dos autoestados, retornando o autovalor pertencente a esse autoestado. O sistema pode sempre ser descrito por uma combinação linear ou superposição desses autoestados com "pesos" (função peso) desiguais. Intuitivamente, é claro que autoestados com "pesos" maiores são mais "prováveis" de serem produzidos. De fato, para qual dos autoestados acima o sistema salta é dado por uma lei probabilística: a probabilidade de o sistema saltar para o estado é proporcional ao valor absoluto do peso numérico correspondente ao quadrado. Esses pesos numéricos são chamados de amplitudes de probabilidade, e essa relação usada para calcular probabilidades a partir de estados quânticos puros fornecidos (como funções de onda) é chamada de Regra de Born.
Claramente, a soma das probabilidades, que é igual à soma dos quadrados absolutos das amplitudes de probabilidade, deve ser igual a 1. Este é o requisito de normalização.
Se se sabe que o sistema está em algum autoestado de (por exemplo, após uma observação do autovalor correspondente de ), a probabilidade de observar esse autovalor torna-se igual a 1 (certeza) para todas as medições subsequentes de (contanto que nenhuma outra força importante atue entre as medições). Em outras palavras, as amplitudes de probabilidade são nulas para todos os outros autoestados e permanecem nulas para as medições futuras. Se o conjunto de autoestados para os quais o sistema pode saltar após a medição de for o mesmo que o conjunto de autoestados para a medição de , então as medições subsequentes de ou sempre produzem os mesmos valores com probabilidade 1, não importa a ordem em que são aplicadas. As amplitudes de probabilidade não são afetadas por nenhuma das medições, e diz-se que os observáveis comutam.
Por outro lado, se os autoestados de e forem diferentes, então a medição de produz um salto para um estado que não é um autoestado de . Portanto, se o sistema for conhecido por estar em algum autoestado de (todas as amplitudes de probabilidade nulas, exceto para um autoestado), então, quando é observado, as amplitudes de probabilidade são alteradas. Uma segunda observação subsequente de já não produz com certeza o autovalor correspondente ao estado inicial. Em outras palavras, as amplitudes de probabilidade para a segunda medição de dependem de ela vir antes ou depois de uma medição de , e os dois observáveis não comutam.
Formulação matemática
Numa configuração formal, o estado de um sistema físico isolado na mecânica quântica é representado, em um tempo fixo , por um vetor de estado pertencente a um espaço de Hilbert complexo separável. Usando a notação bra-ket, a relação entre o vetor de estado e a "base de posição" do espaço de Hilbert pode ser escrita comoO conjunto gerador de um espaço de Hilbert não é suficiente para definir coordenadas, pois as funções de onda formam raios em um espaço de Hilbert projetivo (em vez de um espaço de Hilbert comum). Ver: Espaço projetivo. . Sua relação com um observável pode ser elucidada generalizando o estado quântico para uma função mensurável e seu domínio de definição para um dado espaço de medida -finito . Isso permite um refinamento do teorema da decomposição de Lebesgue, decompondo μ em três partes mutuamente singulares
onde μac é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue, μsc é singular em relação à medida de Lebesgue e sem átomos, e μpp é uma medida de ponto puro.
Amplitudes contínuas
Uma apresentação usual da amplitude de probabilidade é a de uma função de onda pertencente ao espaço de (classes de equivalência de) funções quadrado-integráveis, isto é, pertence a se e somente se . Se a norma for igual a e tal que , então é a função densidade de probabilidade para uma medição da posição da partícula em um dado momento, definida como a derivada de Radon-Nikodym em relação à medida de Lebesgue (por exemplo, no conjunto de todos os números reais). Como a probabilidade é uma quantidade adimensional, deve ter a dimensão inversa da variável de integração . Por exemplo, a amplitude acima tem dimensão [L−1/2], onde L representa comprimento.
Considerando que um espaço de Hilbert é separável se e somente se ele admite uma base ortonormal enumerável, a imagem de uma variável aleatória contínua é um conjunto não enumerável (isto é, a probabilidade de que o sistema esteja "na posição " será sempre zero). Como tal, os autoestados de um observável não precisam necessariamente ser funções mensuráveis pertencentes a (ver a condição de normalização abaixo). Um exemplo típico é o operador posição definido como
cujas autofunções são as funções delta de Dirac
que claramente não pertencem a . Ao substituir o espaço de estados por um espaço de Hilbert aparelhado (rigged Hilbert space) adequado, no entanto, a noção rigorosa de autoestados a partir do teorema espectral, bem como a decomposição espectral, é preservada.
Amplitudes discretas
Seja atômica (ou seja, o conjunto em é um átomo); especificando a medida de qualquer variável discreta igual a . As amplitudes são compostas de vetores de estado indexados por ; seus componentes são denotados por para uniformidade com o caso anterior. Se a norma de for igual a 1, então é uma função massa de probabilidade.
Um espaço de configuração conveniente é tal que cada ponto produz algum valor único do observável . Para discreto, isso significa que todos os elementos da base padrão são autovetores de . Então é a amplitude de probabilidade para o autoestado . Se corresponder a um autovalor não degenerado de , então dá a probabilidade do valor correspondente de para o estado inicial .
se e somente se for o mesmo estado quântico que . se e somente se e forem ortogonais. Caso contrário, o módulo de está entre 0 e 1.
Uma amplitude de probabilidade discreta pode ser considerada como uma frequência fundamental no domínio de frequência de probabilidade (harmônicos esféricos) com a finalidade de simplificar os cálculos de transformação da Teoria M. Variáveis dinâmicas discretas são usadas em problemas como uma partícula em uma caixa reflexiva idealizada e no oscilador harmônico quântico.
Exemplos Um exemplo do caso discreto é um sistema quântico que pode estar em dois estados possíveis, por exemplo, a polarização de um fóton. Quando a polarização é medida, ela pode ser o estado horizontal ou o estado vertical . Até que sua polarização seja medida, o fóton pode estar em uma superposição de ambos os estados, então seu estado poderia ser escrito como
,
com e sendo as amplitudes de probabilidade para os estados e , respectivamente. Quando a polarização do fóton é medida, o estado resultante é horizontal ou vertical. Mas em um experimento aleatório, a probabilidade de ser polarizado horizontalmente é , e a probabilidade de ser polarizado verticalmente é .
Portanto, um fóton em um estado teria uma probabilidade de de sair polarizado horizontalmente, e uma probabilidade de de sair polarizado verticalmente quando um ensemble estatístico de medições é feito. A ordem de tais resultados é, no entanto, completamente aleatória.
Outro exemplo é o spin quântico. Se um aparelho de medição de spin está apontando ao longo do eixo z e, portanto, é capaz de medir a componente z do spin (), o seguinte deve ser verdadeiro para a medição do spin "para cima" (up) e "para baixo" (down):
Se assumirmos que o sistema está preparado de modo que +1 é registrado em e então o aparelho é girado para medir , o seguinte é válido:
A amplitude de probabilidade de medir o spin para cima é dada por , já que o sistema tinha o estado inicial . A probabilidade de medir é dada por
O que concorda com o experimento.
Normalização
No exemplo acima, a medição deve dar ou ou , de modo que a probabilidade total de medir ou deve ser 1. Isto leva a uma restrição de que ; mais geralmente, a soma dos módulos ao quadrado das amplitudes de probabilidade de todos os estados possíveis é igual a um. Se entendermos "todos os estados possíveis" como uma base ortonormal, o que faz sentido no caso discreto, então esta condição é a mesma que a condição de norma 1 explicada acima.
Sempre se pode dividir qualquer elemento não nulo de um espaço de Hilbert por sua norma e obter um vetor de estado normalizado. No entanto, nem toda função de onda pertence ao espaço de Hilbert . Funções de onda que cumprem esta restrição são chamadas de normalizáveis.
A Equação de Schrödinger, que descreve os estados das partículas quânticas, tem soluções que descrevem um sistema e determinam precisamente como o estado muda com o tempo. Suponha que uma função de onda dê uma descrição da partícula (posição num dado tempo ). Uma função de onda é quadrado-integrável se
Após a normalização, a função de onda ainda representa o mesmo estado e, portanto, é igual por definição aVer também o Teorema de Wigner.
Sob a interpretação de Copenhague padrão, a função de onda normalizada dá as amplitudes de probabilidade para a posição da partícula. Assim, é uma densidade de probabilidade e a probabilidade de que a partícula esteja no volume no tempo fixo é dada por
A função densidade de probabilidade não varia no tempo como a evolução da função de onda, pois é ditada pela equação de Schrödinger e é, portanto, inteiramente determinística. Isso é fundamental para compreender a importância desta interpretação: para uma dada massa constante de partícula, inicial e potencial, a equação de Schrödinger determina totalmente as funções de onda subsequentes. O acima então dá as probabilidades de localização da partícula em todos os tempos subsequentes.
No contexto da experiência da dupla fenda