Em álgebra abstrata e teoria das categorias, uma coálgebra é uma estrutura algébrica que é formalmente dual (no sentido categórico da inversão do sentido das setas em diagramas comutativos) à de uma álgebra associativa unital.
Enquanto uma álgebra sobre um corpo é dotada de uma operação binária de multiplicação linear que funde dois elementos em um só () e de uma unidade que injeta o corpo na álgebra (), uma coálgebra decompõe cada um de seus elementos em somas de produtos tensoriais por meio de uma comultiplicação (ou coproduto, ) e avalia-os através de uma counidade linear ().
As coálgebras constituem um dos pilares fundamentais da física matemática e da álgebra moderna: quando combinadas compativelmente com estruturas de álgebra sobre o mesmo espaço vetorial, originam as biálgebras e as álgebras de Hopf, que fornecem o arcabouço matemático rigoroso para a formulação dos grupos quânticos, das simetrias em teoria quântica de campos e dos invariantes de nós em topologia de baixa dimensão.
Definição formal Seja um corpo (ou, mais geralmente, um anel comutativo unitário) e seja o produto tensorial sobre . Uma coálgebra sobre é um espaço vetorial sobre munido de duas transformações lineares: Uma comultiplicação (ou coproduto):
Uma counidade:
satisfazendo os dois axiomas fundamentais de compatibilidade categórica expressos pelos diagramas abaixo:
Coassociatividade A comultiplicação deve ser coassociativa, o que significa que decompor um elemento e aplicar novamente o coproduto no primeiro ou no segundo fator tensorial conduz ao mesmo resultado no espaço :
Em diagramas comutativos:
Counidade A aplicação counidade atua como elemento neutro dual. Ao aplicar a comultiplicação e em seguida avaliar um dos fatores pela counidade (usando os isomorfismos canônicos ), recupera-se a identidade de :
Em diagramas comutativos:
Notação de Sweedler A manipulação de produtos tensoriais iterados em coálgebras torna-se algebricamente prolixa na notação funcional pura. Para sanar essa dificuldade, o matemático norte-americano Moss Sweedler introduziu em 1969 uma notação somatória compacta amplamente adotada na literatura, conhecida como a notação de Sweedler (ou convenção de sigma de Sweedler).
Dado um elemento , a imagem é um elemento genérico de , podendo ser expressa como uma soma finita de tensores simples. Na notação de Sweedler, omitem-se os índices de contagem explícitos e escreve-se:
Sob essa convenção: O axioma da coassociatividade garante que a aplicação dupla de dispensa parênteses:
O axioma da counidade simplifica-se algebricamente como:
Cocomutatividade e elementos notáveis
Cocomutatividade Seja a aplicação linear de transposição (twist) dada por . Diz-se que uma coálgebra é cocomutativa se a comultiplicação for invariante sob a troca de fatores tensoriais, isto é:
Na notação de Sweedler, a cocomutatividade traduz-se pela identidade:
Elementos tipo grupo e primitivos No interior de uma coálgebra distinguem-se elementos com propriedades especiais: Elementos tipo grupo (group-like elements): Um elemento não nulo é dito tipo grupo se seu coproduto for puramente decomponível no tensor de si mesmo:
Decorre imediatamente do axioma da counidade que . O conjunto de todos os elementos tipo grupo em uma biálgebra forma um grupo multiplicativo. Elementos primitivos: Em uma coálgebra com um elemento tipo grupo fixado (como em biálgebras), um elemento é dito primitivo se satisfizer a regra de derivação leibniziana:
Decorre da counidade que . Em qualquer álgebra de Hopf sobre um corpo de característica zero, o conjunto dos elementos primitivos fecha sob o comutador , formando uma álgebra de Lie.
Dualidade com álgebras A relação de dualidade entre espaços vetoriais induz conexões profundas e assimétricas entre álgebras e coálgebras:
O dual de uma coálgebra é sempre uma álgebra Se é uma -coálgebra, o seu espaço dual herda canonicamente a estrutura de uma -álgebra associativa unital. A multiplicação em é definida pelo produto de convolução: para quaisquer funcionais lineares e qualquer , define-se:
A unidade dessa álgebra de convolução é precisamente a counidade da coálgebra original.
O dual de uma álgebra e o dual finito Inversamente, se é uma -álgebra associativa unital, a transposta da multiplicação definiria formalmente uma aplicação . Contudo, se possui dimensão infinita, o espaço é apenas um subespaço próprio estrito de , de modo que a imagem de um elemento de pode não pertencer a .
Portanto: Se tem dimensão finita, a inclusão canônica é um isomorfismo e é naturalmente uma coálgebra; Se tem dimensão infinita, em geral não é uma coálgebra. Todavia, existe um subespaço canônico maximal , denominado dual finito (ou dual de Sweedler), composto pelos funcionais cujos núcleos contêm um ideal de codimensão finita de . O espaço possui estrutura natural de coálgebra.
O Teorema Fundamental das Coálgebras Um dos resultados estruturais mais marcantes da teoria, demonstrado por Moss Sweedler, estabelece uma disparidade essencial de finitude entre álgebras e coálgebras:
Esse teorema contrasta nitidamente com o comportamento das álgebras convencionais: em uma álgebra associativa (como a álgebra de polinômios ), um único elemento pode gerar uma subálgebra de dimensão infinita. Nas coálgebras, a comultiplicação força qualquer elemento a gerar uma órbita tensorial finita, conferindo à teoria de representações de coálgebras propriedades análogas às de álgebras artinianas ou semissimples.
Exemplos fundamentais
Coálgebra de um conjunto Dado um conjunto arbitrário , seja o espaço vetorial tendo os elementos de como base vetorial formal. Define-se estrutura de coálgebra estendendo linearmente para cada :
Essa coálgebra é cocomutativa e todos os vetores da base são elementos tipo grupo.
Coálgebra matricial Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem com base canônica . A estrutura de coálgebra (dual da álgebra de matrizes clássica) é dada por:
Essa coálgebra não é cocomutativa para e surge naturalmente no estudo de representações quânticas e coordenadas em grupos de Lie clássicos.
Coálgebra de polinômios de potências divididas No espaço dos polinômios em uma variável , a comultiplicação que faz da variável um elemento primitivo () impõe pela fórmula do binômio a estrutura:
Essa coálgebra cocomutativa é intimamente associada à expansão de Taylor e ao cálculo com operadores diferenciais.
Coálgebra de grupo Se é um grupo, o espaço vetorial da álgebra de grupo torna-se uma coálgebra definindo para cada elemento :
Dotada simultaneamente de sua multiplicação usual de grupo e da aplicação antípoda , constitui o protótipo elementar de uma álgebra de Hopf.
Comódulos De maneira estritamente análoga a como os módulos representam as ações de uma álgebra sobre espaços vetoriais, os comódulos representam as coações de uma coálgebra.
Um comódulo à direita sobre uma coálgebra é um espaço vetorial munido de uma transformação linear (coação) que satisfaz os axiomas duais de associatividade e unidade:
A categoria dos comódulos de dimensão finita sobre uma coálgebra possui propriedades de abelianidade e finitude que viabilizam a teoria de reconstrução de Tannaka-Krein para grupos algébricos e quânticos.
Ver também Álgebra associativa Biálgebra Álgebra de Hopf Grupo quântico Produto tensorial
Referências
Bibliografia
Ligações externas William Chin: A brief introduction to coalgebra representation theory (em inglês)
Categoria:Álgebra abstrata Categoria:Álgebra homológica Categoria:Álgebra multilinear Categoria:Álgebras de Hopf