alt=Gráfico da função integral logarítmica li(z) no plano complexo de -2-2i a 2+2i com cores criadas com a função ComplexPlot3D do Mathematica 13.1|thumb|Gráfico do valor absoluto da função integral logarítmica li(z) no plano complexo de −2−2i a 2+2i, com cores indicando o argumento (o ângulo no plano complexo) Em matemática, a função integral logarítmica ou logaritmo integral li(x) é uma função especial. Ela é relevante em problemas de física e tem significado em teoria dos números. Em particular, de acordo com o teorema dos números primos, ela é uma excelente aproximação para a função que conta os primos, definida como o número de números primos menores ou iguais a um dado valor . thumb|right|300px|Gráfico da função integral logarítmica
Representação integral A integral logarítmica tem uma representação integral definida para todos os números reais positivos ≠ 1 pela integral definida
Aqui, denota o logaritmo natural. A função tem uma singularidade em , e a integral para é interpretada como um valor principal de Cauchy,
Entretanto, a integral logarítmica também pode ser tomada como uma função complexa meromorfa no domínio complexo. Nesse caso, ela é multivalorada, com pontos de ramificação em 0 e 1, e os valores entre 0 e 1 definidos pela integral acima não são compatíveis com os valores além de 1. A função complexa é mostrada na figura acima. Os valores no eixo real além de 1 são os mesmos definidos acima, mas os valores entre 0 e 1 são deslocados por iπ, de modo que o valor absoluto em 0 é π em vez de zero. A função complexa também é definida (mas multivalorada) para números com parte real negativa, mas, no eixo real negativo, os valores não são reais.
Integral logarítmica deslocada A integral logarítmica deslocada ou integral logarítmica euleriana é definida por
Assim, a representação integral tem a vantagem de evitar a singularidade no domínio de integração.
Equivalentemente,
Valores especiais A função li(x) tem um único zero positivo; ele ocorre em x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... ; esse número é conhecido como a constante de Ramanujan–Soldner.
≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151...
Isto é , onde é a função gama incompleta. Deve ser entendido como o valor principal de Cauchy da função.
Representação em série A função li(x) está relacionada à integral exponencial Ei(x) pela equação
válida para x > 0. Essa identidade fornece uma representação em série de li(x) como
onde γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... é a constante de Euler–Mascheroni. Para a função complexa, a fórmula é
(sem tomar o valor absoluto de u). Uma série de convergência mais rápida, de Ramanujan, é
Mais uma vez, para a função complexa meromorfa, o termo deve ser substituído por
Expansão assintótica O comportamento assintótico, tanto para quanto para , é
onde é a notação O grande. A expansão assintótica completa é
ou
Isso fornece o seguinte comportamento assintótico mais preciso:
Como expansão assintótica, essa série não converge: ela é uma aproximação razoável apenas se a série for truncada em um número finito de termos, e apenas para valores grandes de x. Essa expansão decorre diretamente da expansão assintótica da integral exponencial.
Isso implica, por exemplo, que podemos delimitar li por:
para todo .
Significado em teoria dos números A integral logarítmica é importante em teoria dos números, aparecendo em estimativas do número de números primos menores do que um dado valor. Por exemplo, o teorema dos números primos afirma que:
onde denota o número de primos menores ou iguais a .
Assumindo a hipótese de Riemann, obtém-se o resultado ainda mais forte:Abramowitz and Stegun, p. 230, 5.1.20
De fato, a hipótese de Riemann é equivalente à afirmação de que:
para qualquer .
Para valores pequenos de , , mas a diferença muda de sinal um número infinito de vezes à medida que cresce, e a primeira vez que isso acontece está em algum lugar entre 1019 e .
Ver também Jørgen Pedersen Gram Número de Skewes Lista de integrais de funções logarítmicas
Referências
Categoria:Funções hipergeométricas especiais Categoria:Integrais