A margem de erro é uma estatística que expressa a quantidade de erro amostral aleatório nos resultados de uma pesquisa. Isto é, a margem de erro é a medida do raio ou a metade da largura do intervalo de confiança para a mesma estatística. A margem de erro indica a probabilidade do resultado da amostra ser próxima de 1, se toda a população for pesquisada. Geralmente a probabilidade usada para o resultado da amostra estar dentro da margem de erro é de 95%, embora às vezes sejam usados outros valores. Quanto maior a margem de erro, menor a confiança dos resultados de uma pesquisa serem próximos dos valores reais para toda população.
Geralmente a margem de erro é usada em contextos diferentes de pesquisas para indicar o erro observacional para reportar quantidades medidas. Por exemplo, na astronomia reporta-se a margem de erro como (16) anos-luz (distância da Proxima Centauri), com o número entre parênteses indicado o intervalo esperado de valores nos dígitos correspondentes anteriores. Neste caso, (16) é equivalente a . Esta notação com é mais comumente vista em outras áreas da ciência e da engenharia.
A margem de erro é comumente usada em pesquisas, como pesquisas de opinião, pesquisas de marketing ou pesquisas de rastreamento. Geralmente utiliza-se o nível de confiança de 95%.
Contexto histórico A margem de erro é uma estimativa do intervalo de confiança, conceito introduzido por Jerzy Neyman com a publicação de On The Two Different Aspects of The Representative Method: The Method of Stratified Sampling and The Method of Purposive Selection em 1934. De acordo com Michael Ornstein, em A Companion to Survey Research, o trabalho do matemático polaco-estadunidense marca o início da pesquisa de opinião moderna.
Neyman demonstra o risco do viés quando a amostra não é selecionada aleatoriamente e o valor da estratificação da amostra por meio da qual a população é separada em dois ou mais estratos (amostras são selecionadas de cada estrato não necessariamente com a mesma probabilidade). Isto é feito a partir da análise de uma amostra não aleatória de 29 das 214 unidades geográficas de um censo nacional italiano. Embora as 29 unidades tenham sido escolhidas por se aproximarem da média da população em número de variáveis, a amostra resultante aparentava ser diferente da população em outras medidas.
Neyman estabelece o intervalo de confiança como o critério para a precisão da estimativa de uma característica da população e mostra como calcular o intervalo de confiança para amostras por clusters. Isto pode ser aplicado em amostras por área, em que áreas geográficas como municípios, distritos rurais ou blocos de cidades são escolhidos para depois uma amostra aleatória ser selecionada. As amostras por áreas desenvolveram-se com M. M. Hansen e W. N. Hurwitz na década de 1940 e com Leslie Kish na década de 1960. Os primeiros textos sobre amostragem em pesquisa surgiram em 1950, mas os métodos práticos para estimar erros em amostras complexas vieram em 1970 e não foram incorporados aos softwares de análise de pesquisa até meados de 2000.
Definição formal miniatura|300px|Visualização da margem de erro em relação ao intervalo de confiança de 95% para a proporção amostral. A curva azul representa a distribuição da proporção amostral. A área azul sob a curva representa o intervalo de confiança de 95%. A linha vermelha representa a margem de erro. miniatura|300px|A parte superior representa a densidade de probabilidade em relação à porcentagem real, mostrando a probabilidade relativa de a porcentagem real ocorrer com base em uma porcentagem amostrada. Na parte inferior, cada linha mostra o intervalo de confiança de 95% de uma amostra (margem de erro à esquerda e amostras não enviesadas à direita). Nota-se que quanto maior as amostras não enviesadas, menor a margem de erro.
A margem de erro para uma estatística particular é definida como o raio ou a metade da largura do intervalo de confiança para a mesma estatística.
Por exemplo, para determinar um intervalo de confiança para média com coeficiente de confiança de 95% (), usa-se o quantil de 97,5% da distribuição normal:
,
em que é a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão.
Decorre o score pela formação:
. A posição 0,975 da tabela mostra (consultar a tabela de distribuição normal padrão para teste z).
Portanto, o intervalo de confiança para média com nível de significância de 95% é ,
em que, é o desvio padrão e é o tamanho da população.
O raio do intervalo de confiança é . Logo, a margem de erro é .
Interpretação Quando uma margem de erro é reportada em uma pesquisa, ela se refere à margem de erro máxima para todas as porcentagens usando a amostra completa da pesquisa. Se a estatística é uma porcentagem, a margem de erro máxima pode ser calculada como o raio do intervalo de confiança para uma porcentagem de 50%. A margem de erro tem sido descrita como uma quantidade absoluta, igual ao raio do intervalo de confiança para a estatística. Por exemplo, se o valor real for 50 pontos percentuais e a estatística tiver raio de intervalo de confiança de 5 pontos percentuais, então pode-se afirmar que a margem de erro é de 5 pontos percentuais.
A margem de erro pode ser definida para qualquer nível de confiança, mas geralmente são escolhidos 90%, 95% (principalmente) ou 99%. A magnitude da margem de erro também pode ser determinada pela configuração da amostra e particularmente pelo tamanho da amostra para uma pesquisa (uma amostra maior resulta em uma margem de erro menor, com todo o resto permanecendo igual).
Se forem usados os mesmos intervalos de confiança, então a margem de erro pode ser considerada tanto o erro amostral quanto o erro não-amostral. Se for usado um intervalo de confiança aproximado (por exemplo, assumindo que a distribuição é normal e modelando o intervalo de confiança), então a margem de erro pode considerar apenas o erro amostral aleatório e desconsiderar outras fontes de erro ou de viés como perguntas mal formuladas, pessoas mentindo ou recusando-se a responder, exclusão de pessoas que não puderam ser contatadas ou erros de contagem ou de cálculo.
Em alguns casos, a margem de erro é expressa como uma quantidade relativa em vez de uma quantidade absoluta. Por exemplo, supondo que o valor real seja 50 pontos percentuais e que o raio do intervalo de confiança seja 5 pontos percentuais. Se for utilizada a definição absoluta, a margem de erro seria 5 pontos percentuais. Se for utilizada a definição relativa, a margem de erro seria 10% (5 pontos percentuais correspondem a 10% de 50 pontos percentuais). Entretanto, esta distinção geralmente não é explícita.
Exemplo De acordo com uma pesquisa realizada em 2 de outubro de 2004 pela Newsweek sobre a campanha presidencial dos Estados Unidos, 47% dos eleitores votariam em John Kerry / John Edwards e 45% dos eleitores votariam em Ralph Nader / Peter Camejo se a eleição acontecesse naquele dia. O tamanho da amostra era de 1.013 pessoas. Basicamente pesquisas envolvem tomar uma amostra de uma certa população. No caso da pesquisa da Newsweek, a população de interesse são os eleitores. Como é impraticável consultar todos os eleitores, os pesquisadores tomam pequenas amostras que devem ser representativas. Isto é, uma amostra aleatória da população.
É possível que os pesquisadores coletem uma amostra de 1.013 eleitores que votarão em Bush, quando na verdade a população está dividida entre Bush e Kerry. Entretanto, isto é extremamente improvável, supondo que a população esta dividida por igual entre Bush e Kerry. Então, uma pessoa escolhida ao acaso votaria em Bush com probabilidade de 0,5. Assim, a probabilidade de que todas as 1.013 pessoas escolhidas votarão em Bush é .
A teoria da amostragem fornece métodos para calcular a probabilidade dos resultados da pesquisa divergirem da realidade devido ao acaso. Por exemplo, a pesquisa mostra Kerry com 47% das intenções de votos, mas seu apoio é tão maior quanto 50% ou tão menor quanto 44%. Esta teoria e algumas suposições bayesianas sugerem que a porcentagem real será próxima de 47%.
Quanto mais pessoas forem consultadas, mais confiantes os pesquisadores podem ficar que a porcentagem real é próxima da porcentagem observada (a margem de erro é uma medida do quão próximo os resultados devem estar). No entanto, a margem de erro apenas conta para o erro amostral aleatório. Então, não há correspondência para erros sistemáticos que podem ocorrer pela falta de respostas ou por interações entre a pesquisa e as memórias, as motivações, a comunicação e o conhecimento dos sujeitos.
Cálculo da margem de erro para amostras aleatórias No caso da pesquisa da Newsweek, os cálculos consideram uma amostra aleatória simples retirada de uma grande população. O erro padrão de uma proporção é o desvio padrão estimado da amostra, que pode ser estimado a partir da porcentagem e do tamanho da amostra desde que seja pequeno em relação ao tamanho da população:
.Sample Sizes, Margin of Error, Quantitative Analysis
Para um intervalo de confiança de 95%, tem-se a margem de erro:
.
Cálculo da porcentagem O cálculo da porcentagem é dado pela atribuição da intenção de voto. Isto é, se uma pessoa afirma que votará em John Kerry, o pesquisador contabilizará um voto para o candidato. Em termos matemáticos, a variável aleatória recebe valor 1 quando o entrevistado afirma que votará em John Kerry e recebe valore 0 em caso contrário.
No caso da pesquisa da Newsweek, John Kerry tem 47% das intenções de voto. Portanto, a porcentagem é obtida a partir da amostra de 1.013 pessoas quando
(equivalente a 47%).
Interpretação do resultado No caso da pesquisa da Newsweek, quando a reportagem informar que a margem de erro está para dois pontos percentuais para mais ou para menos, isto se refere à probabilidade de 95% quando a porcentagem está no intervalo e . Caso a amostra não seja uma amostra aleatória simples de uma grande população, o erro padrão e o intervalo de confiança precisam ser estimados por meio de cálculos mais avançados (Linearização e reamostragem são técnicas amplamente usadas para dados de uma complexa configuração de amostras).
Nota-se que não há necessariamente uma conexão estrita entre o intervalo de confiança real e o erro padrão real. O intervalo de confiança real da porcentagem é o intervalo , que contém a porcentagem da distribuição e em que da distribuição está abaixo de e da distribuição está acima de . O erro padrão real da estatística é a raiz quadrada da variância real da amostragem da estatística. O intervalo de confiança real e o erro padrão real podem não estar estritamente conectados, embora haja uma relação direta geralmente para grandes distribuições que parecem curvas normais.
No caso da pesquisa da Newsweek, o nível de apoio de John Kerry era , para e . O erro padrão (0,016 ou 1,6%) ajuda a dar a sensação de precisão para a porcentagem estimada para John Kerry. Uma interpretação bayesiana do erro padrão é que, embora a porcentagem real não seja conhecida, é altamente provavelmente que a porcentagem esteja localizada dentro de dois erros padrão da porcentagem estimada. O erro padrão pode ser usado para criar um intervalo de confiança dentro do qual a porcentagem real deve ter um certo nível de confiança.
A margem de erro é metade da largura do intervalo de confiança. Isto pode ser calculado como um múltiplo do erro padrão, com o fator dependendo do nível de confiança desejado. Uma margem de um erro padrão corresponde a um intervalo de confiança de 68%, enquanto a estimativa mais ou menos 1,96 erros padrão corresponde a um intervalo de confiança de 95% e um intervalo de confiança de 99% corresponde a 2,58 erros padrão nos dois lados da estimativa.
Erros padrões de distribuições amostrais Em estatística, é possível verificar erros para distribuições amostrais, utilizadas em grande medida para análise de dados.
Média O erro da média é utilizado para grandes e pequenas amostras, quando :
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