thumb|O plano projetivo real é uma variedade bidimensional que não pode ser realizada em três dimensões sem autointerseções, mostrada aqui como a superfície de Boy. thumb|right|A superfície da Terra requer (pelo menos) duas cartas para incluir todos os pontos. Aqui o globo é decomposto em cartas em torno dos polos norte e sul.
Na matemática, uma variedade é um espaço topológico que se assemelha localmente ao espaço euclidiano perto de cada ponto. Mais precisamente, uma variedade de dimensão n, ou simplesmente n-variedade, é um espaço topológico com a propriedade de que cada ponto possui uma vizinhança que é homeomorfa a um subconjunto aberto do espaço euclidiano de dimensão n.
Variedades unidimensionais incluem retas e círculos, mas não curvas que se autointerceptam, como uma figura de oito. Variedades bidimensionais também são chamadas de superfícies. Exemplos incluem o plano, a esfera e o toro, e também a garrafa de Klein e o plano projetivo real.
O conceito de uma variedade é central para muitas partes da geometria e da física matemática moderna porque permite que estruturas complicadas sejam descritas em termos de propriedades topológicas bem compreendidas de espaços mais simples. Variedades surgem naturalmente como conjuntos de soluções de sistemas de equações e como gráficos de funções. O conceito tem aplicações em computação gráfica dada a necessidade de associar imagens a coordenadas (por exemplo, em tomografias computadorizadas).
Variedades podem ser equipadas com estrutura adicional. Uma classe importante de variedades são as variedades diferenciáveis; sua estrutura diferenciável permite que o cálculo seja realizado. Uma métrica riemanniana em uma variedade permite que distâncias e ângulos sejam medidos. Variedades simpléticas servem como os espaços de fase no formalismo hamiltoniano da mecânica clássica, enquanto as variedades lorentzianas quadridimensionais modelam o espaço-tempo na relatividade geral.
O estudo das variedades requer conhecimento prático de cálculo e topologia.
Exemplos motivadores
Círculo
direita|miniatura|Figura 1: Os quatro cartogramas mapeiam cada parte do círculo para um intervalo aberto e, juntos, cobrem o círculo inteiro. Depois de uma reta, um círculo é o exemplo mais simples de variedade topológica. A topologia ignora curvaturas, portanto um pequeno pedaço de um círculo é tratado da mesma forma que um pequeno pedaço de uma reta. Considerando, por exemplo, a parte superior do círculo unitário, x2 + y2 = 1, onde a coordenada y é positiva (indicada pelo arco amarelo na Figura 1). Qualquer ponto desse arco pode ser descrito de forma única por sua coordenada x. Assim, a projeção sobre a primeira coordenada é um mapeamento contínuo e invertível do arco superior para o intervalo aberto (−1, 1):
Tais funções, juntamente com as regiões abertas que mapeiam, são chamadas de cartogramas. De forma semelhante, existem cartogramas para as partes inferior (vermelho), esquerda (azul) e direita (verde) do círculo:
Juntas, essas partes cobrem o círculo inteiro, e os quatro cartogramas formam um atlas para o círculo.
Os cartogramas do topo e da direita, e respectivamente, se sobrepõem em seus domínios: sua interseção está no quarto do círculo onde tanto as coordenadas quanto são positivas. Ambos mapeiam essa parte para o intervalo , embora de formas diferentes. Assim, pode-se construir uma função , que toma valores do contradomínio de de volta ao círculo usando a inversa, seguida de de volta ao intervalo. Se a é qualquer número em , então:
Tal função é chamada de mapa de transição.
direita|miniatura|Figura 2: Um cartograma de variedade circular baseado em inclinação, cobrindo todos os pontos do círculo exceto um.
Os cartogramas do topo, inferior, esquerda e direita não formam o único atlas possível. Os cartogramas não precisam ser projeções geométricas, e o número de cartogramas é uma questão de escolha. Considere os cartogramas
e
Aqui s é a inclinação da reta que passa pelo ponto de coordenadas (x, y) e pelo ponto pivô fixo (−1, 0); de forma análoga, t é o oposto da inclinação da reta que passa pelos pontos de coordenadas (x, y) e (+1, 0). O mapeamento inverso de s para (x, y) é dado por
Pode-se confirmar que x2 + y2 = 1 para todos os valores de s e t. Esses dois cartogramas fornecem um segundo atlas para o círculo, com o mapa de transição
(isto é, essa relação entre s e t vale para todo ponto onde s e t são ambos não nulos).
Cada cartograma omite um único ponto, seja (−1, 0) para s ou (+1, 0) para t, portanto nenhum cartograma sozinho é suficiente para cobrir o círculo inteiro. Pode-se provar que não é possível cobrir o círculo completo com um único cartograma. Por exemplo, embora seja possível construir um círculo a partir de um único intervalo de reta sobrepondo e "colando" as extremidades, isso não produz um cartograma; uma porção do círculo seria mapeada para ambas as extremidades ao mesmo tempo, perdendo a invertibilidade.
Esfera A esfera é um exemplo de superfície. A esfera unitária de equação implícita
pode ser coberta por um atlas de seis cartogramas: o plano divide a esfera em dois hemisférios ( e ), que podem ser ambos mapeados sobre o disco pela projeção no plano de coordenadas. Isso fornece dois cartogramas; os outros quatro são fornecidos por uma construção semelhante com os outros dois planos coordenados.
Assim como com o círculo, pode-se definir um único cartograma que cobre toda a esfera exceto um ponto. Portanto, dois cartogramas são suficientes, mas a esfera não pode ser coberta por um único cartograma.
Este exemplo é historicamente significativo, pois motivou a terminologia; tornou-se evidente que toda a superfície da Terra não pode ter uma representação plana consistindo de um único mapa (também chamado de "cartograma", ver carta náutica), e por isso são necessários atlas para cobrir toda a superfície terrestre.
Outras curvas direita|miniatura|Quatro variedades a partir de curvas algébricas: círculos, parábola, hipérbole, cúbica. Variedades não precisam ser conexas (todas "em uma só peça"); um exemplo é um par de círculos separados.
Variedades não precisam ser fechadas; assim, um segmento de reta sem seus pontos extremos é uma variedade. Elas nunca são contáveis, a menos que a dimensão da variedade seja 0. Reunindo essas liberdades, outros exemplos de variedades são uma parábola, uma hipérbole e o lugar dos pontos sobre uma curva cúbica (uma parte em laço fechado e uma parte aberta e infinita).
Estão excluídos, porém, exemplos como dois círculos tangentes que compartilham um ponto formando um "8"; no ponto compartilhado, não é possível criar um cartograma satisfatório. Mesmo com a curvatura permitida pela topologia, a vizinhança do ponto compartilhado se parece com um "+", não com uma reta. Um "+" não é homeomorfo a um segmento de reta, pois remover o ponto central do "+" resulta em um espaço com quatro componentes (isto é, peças), enquanto remover um ponto de um segmento de reta resulta em um espaço com no máximo duas peças; operações topológicas sempre preservam o número de peças.
Definição
Informalmente, uma variedade é um espaço "modelado" no espaço euclidiano. Uma variedade pode ser construída fornecendo uma coleção de cartogramas de coordenadas, isto é, uma cobertura por conjuntos abertos com homeomorfismos para um espaço euclidiano, e funções de colagem: homeomorfismos de uma região do espaço euclidiano para outra região, caso correspondam à mesma parte da variedade em dois cartogramas de coordenadas diferentes. Uma variedade pode receber estrutura adicional se as funções de colagem satisfizerem axiomas além da continuidade. Por exemplo, variedades diferenciáveis possuem homeomorfismos em vizinhanças sobrepostas difeomorfos entre si, de modo que a variedade tem um conjunto bem definido de funções que são diferenciáveis em cada vizinhança e, portanto, diferenciáveis na variedade como um todo. Formalmente, uma variedade (topológica) é um espaço segundo contável de Hausdorff que é localmente homeomorfo a um espaço euclidiano. Segundo contável e Hausdorff são condições de topologia de conjuntos de pontos; segundo contável exclui espaços que são, em certo sentido, "grandes demais", como a reta longa, enquanto Hausdorff exclui espaços como "a reta com duas origens". Localmente homeomorfo a um espaço euclidiano significa que todo ponto possui uma vizinhança homeomorfa a um subconjunto aberto do espaço euclidiano para algum inteiro não negativo . Isso implica que ou o ponto é um ponto isolado (se ), ou possui uma vizinhança homeomorfa à bola aberta Isso implica também que todo ponto possui uma vizinhança homeomorfa a , uma vez que é homeomorfo, e até difeomorfo, a qualquer bola aberta nele contida (para ). O que aparece na definição anterior é chamado de dimensão local da variedade. Em geral, considera-se que as variedades possuem dimensão local constante, e a dimensão local é então chamada de dimensão da variedade. Este é, em particular, o caso quando as variedades são conexas. No entanto, alguns autores admitem variedades que não são conexas e nas quais pontos diferentes podem ter dimensões diferentes.Ver, por exemplo, ; . Se uma variedade possui dimensão fixa, isso pode ser enfatizado chamando-a de . Por exemplo, a (superfície de uma) esfera possui dimensão constante igual a 2 e é, portanto, uma variedade pura, ao passo que a união disjunta de uma esfera e uma reta no espaço tridimensional não é uma variedade pura. Como a dimensão é um invariante local (isto é, a função que associa a cada ponto a dimensão de sua vizinhança sobre a qual um cartograma está definido é localmente constante), cada componente conexa possui dimensão fixa. Do ponto de vista da teoria de feixes, uma variedade é um espaço anelado localmente, cujo feixe estrutural é localmente isomorfo ao feixe de funções contínuas (ou diferenciáveis, ou complexo-analíticas, etc.) sobre o espaço euclidiano. Essa definição é utilizada principalmente ao se discutir variedades analíticas em geometria algébrica.
Cartogramas, atlas e mapas de transição
A Terra esférica é navegada com o uso de mapas planos ou cartogramas, reunidos em um atlas. De forma análoga, uma variedade pode ser descrita por meio de mapas matemáticos, chamados cartogramas de coordenadas, reunidos em um atlas matemático. Em geral, não é possível descrever uma variedade com um único cartograma, pois a estrutura global da variedade é diferente da estrutura simples dos cartogramas. Por exemplo, nenhum mapa plano único pode representar a Terra inteira sem separar elementos adjacentes nas bordas do mapa ou duplicar a cobertura. Quando uma variedade é construída a partir de múltiplos cartogramas sobrepostos, as regiões de sobreposição carregam informações essenciais para a compreensão da estrutura global.
Cartogramas
Um mapa de coordenadas, um cartograma de coordenadas, ou simplesmente um cartograma, de uma variedade é um mapa invertível entre um subconjunto da variedade e um espaço simples, de modo que tanto o mapa quanto sua inversa preservam a estrutura desejada. Para uma variedade topológica, o espaço simples é um subconjunto de algum espaço euclidiano e o interesse recai sobre a estrutura topológica. Essa estrutura é preservada por homeomorfismos, mapas invertíveis que são contínuos em ambas as direções.
No caso de uma variedade diferenciável, um conjunto de cartogramas chamado atlas, cujas funções de transição (ver abaixo) são todas diferenciáveis, nos permite fazer cálculo sobre ela. As coordenadas polares, por exemplo, formam um cartograma para o plano menos o semieixo positivo das abscissas e a origem. Outro exemplo de cartograma é o mapa χtopo mencionado anteriormente, um cartograma para o círculo.
Atlas