Cálculo com múltiplas variáveis (também conhecido como cálculo multivariável) é a extensão do cálculo em uma variável ao cálculo em diversas variáveis: as funções as quais são diferenciáveis e integráveis envolvem várias variáveis ao invés de uma única variável.

Não é mais que a extensão do cálculo infinitesimal a funções escalares e vetoriais de várias variáveis, com tudo o que esta generalização implica.

thumb|Campo escalar com duas variáveis.

Cálculo diferencial em campos escalares e vetoriais

Funções de Rn em Rm. Campos escalares e vetoriais

Formulando as definições para campos vetoriais, estas também sendo válidas para campos escalares. Seja

um campo vetorial que faz corresponder a todo ponto P definido biunivocamente por sua vetor posição um vetor onde o ponto O é a origem de coordenadas.

com e . Quando temos um campo escalar. Para temos um campo vetorial. Utiliza-se a norma euclidiana para encontrar a magnitude dos vetores.

Limites e continuidade

Sejam e Escrevemos:

,

ou ainda,

cuando

para expressar o seguinte:

onde é a norma euclideana de .

Expresando-o em função das componentes de

ou, de forma equivalente,

Derivadas direcionais

Derivada de um campo escalar em relação a um vetor

thumb

Derivadas parciais

Se derivamos a expressão anterior em relação a uma segunda variável, , teremos . Na prática, calcularemos derivando em relação a e supondo constante.

A diferencial

Definição de campo escalar diferenciável

A equação anterior é a fórmula de Taylor de primeira ordem para .

Teorema de unicidade da diferencial

Regra da cadeia

Diferencial de um campo vetorial

Expressando em função de seus componentes, temos

Esta é a fórmula de Taylor de primeira ordem para .

A matriz de é sua matriz jacobiana.

Diferenciabilidade implica continuidade

Se deduze facilmente da fórmula de Taylor de primeira ordem já vista.

Regra da cadeia para diferenciais de campos vetoriais

Condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais mistas

Aplicações do cálculo diferencial

Cálculo de máximos, mínimos e "pontos de sela" para campos escalares

thumb|Função com um ponto de sela.

Para saber se é um dos casos anteriores:

Obtemos Obtemos a matriz hessiana de f. Seja esta . é definida positiva tem um mínimo local (mínimo relativo) em . é definida negativa tem um máximo local (máximo relativo) em . é indefinida tem um ponto de sela em .

No exposto anteriormente, supomos que é contínua

Ver também Função diferenciável Campo escalar Campo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Integral de linha Integral de superfície Integral múltipla Multiplicadores de Lagrange

Apostol, Tom M., Calculus, volumen 2, editorial reverté, S. A., ISBN 84-291-5003-X

Categoria:Cálculo