Na teoria das categorias, uma mónade, mônade ou mônada (ou tripla, nome porém menos usado: "'Triple' is an antiquated synonym for 'monad'.") é um endofunctor, junto a duas transformações naturais, satisfazendo regras formalmente análogas às de um monoide. Aplicações do conceito incluem a determinação de equivalências com as categorias de álgebras sobre mônades, sendo centrais na álgebra universal, além do uso na ciência da computação como modelo conveniente para, por exemplo, a manipulação de estado global e o não determinismo.
Definição Uma mônade numa categoria consiste de um functor , uma transformação natural , chamada unidade, e uma transformação natural , chamada multiplicação, tais que os diagramas abaixo comutam: Diagrama do elemento neutro Diagrama da associatividade
Álgebra sobre mônada Dada mônada na categoria , uma -álgebra é uma dupla consistindo de objeto e morfismo tais que os diagramas abaixo comutam: Compatibilidade com a unidade Compatibilidade com a multiplicação
Um morfismo entre -álgebras é um morfismo em tal que o diagrama abaixo comuta:
Assim, as -álgebras formam uma categoria, chamada categoria de Eilenberg–Moore para , e denotada por .
Exemplos Toda adjunção determina uma mônade, com endofunctor , unidade (isto é, a mesma que a unidade da adjunção) e multiplicação . A seguir, exemplos de mônades provenientes de adjunções: A adjunção entre o functor livre e o functor "esquecidiço" , em que denota a categoria de monoides, origina a mônade de lista (como chamada na ciência da computação), na qual , isto é, o conjunto de sequências finitas de elementos de , , a sequência de um elemento, e pode ser descrito por concatenação de sequências. As -álgebras correspondem biunivocamente a monoides, de modo que o morfismo corresponde à família de funções , levando uma sequência ao produto (que será a identidade se ). Denotando-se a categoria dos conjuntos com um dos elementos selecionado, chamado "base", e com morfismos as funções de conjuntos que levam uma base a outra base, há a adjunção entre e , onde (adiciona uma base) e (esquece qual é a base). A mônade correspondente é chamada de mônade "talvez", na qual: , uma união disjunta com um novo elemento, , , . A categoria , neste caso, é isomorfa à categoria .Acima, denota-se por e as inclusões no coproduto. Quando é uma pré-ordem, uma mônada é uma função crescente satisfazendo , , para cada ; no caso em que a ordem é parcial, é chamado operador de fecho, e as -álgebras correspondem aos elementos fechados (isto é, aqueles satisfazendo ). Para cada monoide , há uma mônada na categoria dos conjuntos, na qual , e . Uma -álgebra é uma ação de monoide.
Adjunções a partir de mônadas Dada mônada em , há uma adjunção , em que e ainda mais esta adjunção induz a mônada (isto é, , e ).
A -álgebra , aparecendo na definição de , é chamada -álgebra livre.
Categoria de Kleisli A categoria de Kleisli para uma mônada é definida por: ter os seus objetos em correspondência biunívoca com os objetos de ; ter os seus morfismos em correspondência biunívoca com os morfismos , com identidades e composições
Há também uma adjunção , em que e ainda mais esta adjunção induz a mesma mônada.
Functor monádico
A categoria de Eilenberg–Moore e a categoria de Kleisli satisfazem a propriedade universal a seguir. Para cada adjunção , denotando-se por a mônada associada, há único functor tal que e , e há único functor tal que e ; com efeito, eles têm definições:
Um functor é dito monádico (respectivamente estritamente monádico) se e só se faz parte de uma adjunção (que é chamada uma adjunção monádica) para a qual o functor de comparação é uma equivalência de categorias (respectivamente um isomorfismo de categorias).
Teorema de monadicidade Dado functor , um coequalizador que -cinde para uma dupla de morfismos paralelos em é um coequalizador que cinde para a dupla . O functor é dito estritamente criar coequalizadores que -cindem quando, sempre que é coequalizador que cinde para uma dupla , existe único morfismo em tal que , e ainda mais este é coequalizador para (não necessariamente que cinde). criar coequalizadores que -cindem quando, sempre que tem coequalizador que -cinde, tem coequalizador (não necessariamente que cinde) preservado por , e ainda mais, sempre que satisfaz e é tal que é coequalizador que cinde para , então deve ser coequalizador para (não necessariamente que cinde). (Saunders Mac Lane usa o termo criar em vez de estritamente criar.)
Denotando-se por a mônada associada a uma adjunção , o functor estritamente cria coequalizadores que -cindem. Como, para cada -álgebra , o diagrama a seguir é coequalizador que cindetem-se o diagrama de coequalizador em chamado de presentação canônica da -álgebra ; ela generaliza, por exemplo, a representação de um grupo como um quociente de um grupo livre.
O teorema de monadicidade de Beck diz que um functor adjunto direito é monádico (respectivamente estritamente monádico) se e só se cria (respectivamente estritamente cria) coequalizadores que -cindem.
Há uma versão "reflexiva" do teorema de monadicidade. Uma dupla de morfismos é dita ser reflexiva quando existe tal que . Então, dado functor , se é functor adjunto direito, reflete isomorfismos (isto é, é isomorfismo sempre que é isomorfismo), e admite coequalizadores de duplas reflexivas que -cindem e preserva esses coequalizadores, então o functor é monádico.
O resultado permite demonstrar que os seguintes functores são monádicos: Os functores "esquecidiços" da categoria de monoides, grupos, anéis, e outras estruturas algébricas, para a categoria dos conjuntos. O functor "esquecidiço" da categoria de espaços compactos de Hausdorff para a categoria dos conjuntos. O functor de conjuntos de partes e pré-imagens. A inclusão de uma subcategoria reflexiva (plena) em .
A utilidade do teorema de Beck é que uma equivalência entre e faz com que essas duas categorias compartilhem algumas propriedades. Por exemplo: O functor reflete isomorfismos e estritamente cria todos os limites existentes em .Quando é monádico mas não estritamente monádico, cria limites existentes em , mas é possível que não os crie estritamente, diferentemente de . O functor estritamente cria todos os colimites existentes em que são preservados por e . Se é cocompleta e admite coequalizadores, então também é cocompleta.
Bibliografia
Categoria:Teoria das categorias