Em matemática, uma expressão em forma fechada ou fórmula em forma fechada é aquela formada com constantes, variáveis e um conjunto de funções consideradas como básicas, conectadas por operações aritméticas ( e potências inteiras) e pela composição de funções. Comumente, as funções básicas permitidas em formas fechadas são a raiz n-ésima, a função exponencial, o logaritmo e as funções trigonométricas.As funções hiperbólicas, as funções trigonométricas inversas e as funções hiperbólicas inversas também são permitidas, pois podem ser expressas em termos das precedentes. No entanto, o conjunto de funções básicas depende do contexto. Por exemplo, se adicionarmos as raízes de polinômios às funções básicas, as funções que possuem uma forma fechada passam a ser chamadas de funções elementares.
O problema da forma fechada surge quando novas maneiras são introduzidas para especificar objetos matemáticos, como limites, séries e integrais: dado um objeto especificado com tais ferramentas, um problema natural é encontrar, se possível, uma expressão em forma fechada desse objeto; isto é, uma expressão deste objeto em termos de maneiras anteriores de especificá-lo.
Exemplo: raízes de polinômios
A fórmula quadrática (ou fórmula de Bhaskara)
é uma forma fechada das soluções para a equação quadrática geral
Mais genericamente, no contexto de equações polinomiais, uma forma fechada de uma solução é uma solução por radicais; ou seja, uma expressão em forma fechada na qual as únicas funções permitidas são as raízes n-ésimas e as operações de corpo De fato, a teoria de corpos permite demonstrar que, se a solução de uma equação polinomial possui uma forma fechada envolvendo exponenciais, logaritmos ou funções trigonométricas, então ela também possui uma forma fechada que não envolve essas funções.
Existem expressões em radicais para todas as soluções de equações cúbicas (grau 3) e equações quárticas (grau 4). O tamanho dessas expressões aumenta significativamente com o grau, limitando a sua utilidade.
Em graus mais elevados, o Teorema de Abel-Ruffini afirma que existem equações cujas soluções não podem ser expressas em radicais e, portanto, não têm formas fechadas. Um exemplo simples é a equação A Teoria de Galois fornece um método algorítmico para decidir se uma equação polinomial específica pode ser resolvida em radicais.
Integração simbólica
A integração simbólica consiste essencialmente na busca de formas fechadas para primitivas de funções que são especificadas por expressões em forma fechada. Neste contexto, as funções básicas usadas para definir as formas fechadas são comumente os logaritmos, a função exponencial e as raízes de polinômios. As funções que possuem uma forma fechada em relação a essas funções básicas são chamadas de funções elementares e incluem as funções trigonométricas, funções trigonométricas inversas, funções hiperbólicas e as funções hiperbólicas inversas.
O problema fundamental da integração simbólica é, assim, dada uma função elementar especificada por uma expressão em forma fechada, decidir se a sua primitiva é uma função elementar e, se for, encontrar uma expressão em forma fechada para esta primitiva.
Para as funções racionais; isto é, para frações de duas funções polinomiais; as primitivas nem sempre são frações racionais, mas são sempre funções elementares que podem envolver logaritmos e raízes de polinômios. Isto é usualmente provado através da decomposição em frações parciais. A necessidade de logaritmos e raízes polinomiais é ilustrada pela fórmula:
que é válida se e são polinômios coprimos de forma que é um polinômio livre de quadrados e
Definições alternativas
Mudar as funções básicas para incluir funções adicionais pode alterar o conjunto de equações com soluções em forma fechada. Muitas funções de distribuição acumulada não podem ser expressas em forma fechada, a menos que se considere as funções especiais, como a função erro ou a função gama, como básicas. É possível resolver a equação quíntica (grau 5) se as funções hipergeométricas gerais forem incluídas, embora a solução seja algebricamente demasiado complicada para ser útil. Para muitas aplicações práticas de computação, é perfeitamente razoável assumir que a função gama e outras funções especiais são básicas, uma vez que as implementações numéricas estão amplamente disponíveis.
Expressão analítica
Este é um termo que às vezes é entendido como sinônimo de forma fechada (ver ), mas este uso é contestado (ver ). Não está claro até que ponto este termo está genuinamente em uso, em oposição a ser o resultado de versões anteriores não citadas desta página.
Comparação de diferentes classes de expressões
As expressões em forma fechada não incluem as séries infinitas ou as frações contínuas; nenhuma delas inclui integrais ou limites. Na verdade, pelo Teorema de Stone-Weierstrass, qualquer função contínua no intervalo unitário pode ser expressa como um limite de polinômios, de modo que qualquer classe de funções que contenha os polinômios e seja fechada sob limites incluirá necessariamente todas as funções contínuas.
Da mesma forma, diz-se que uma equação ou um sistema de equações possui uma solução em forma fechada se e somente se pelo menos uma solução puder ser expressa como uma expressão em forma fechada; e diz-se que tem uma solução analítica se e somente se pelo menos uma solução puder ser expressa como uma expressão analítica. Existe uma distinção sutil entre uma "função de forma fechada" e um "número de forma fechada" na discussão de uma "solução de forma fechada", abordada em e abaixo. Uma solução em forma fechada ou analítica é por vezes referida como uma solução explícita (em oposição às equações implícitas).
Lidando com expressões sem forma fechada
Transformação em expressões em forma fechada
A expressão:
não está em forma fechada porque a somatória implica um número infinito de operações elementares. No entanto, ao somar uma progressão geométrica, esta expressão pode ser reescrita na forma fechada:
Teoria de Galois diferencial
A integral de uma expressão de forma fechada pode ou não ser expressa como uma expressão de forma fechada. Esse estudo é referido como a teoria de Galois diferencial, por analogia à teoria de Galois algébrica.
O teorema básico da teoria de Galois diferencial deve-se a Joseph Liouville nas décadas de 1830 e 1840, e é por isso chamado de Teorema de Liouville.
Um exemplo padrão de uma função elementar cuja primitiva não possui uma expressão em forma fechada é: cuja única primitiva é (a menos de uma constante multiplicativa) a função de erro:
Modelagem matemática e simulação computacional
Equações ou sistemas demasiado complexos para soluções analíticas ou de forma fechada podem muitas vezes ser analisados por modelagem matemática e simulação computacional (para um exemplo em física, ver ).
Número de forma fechada Três subcorpos dos números complexos foram sugeridos como codificando a noção de um "número de forma fechada"; em ordem crescente de generalidade, eles são os números de Liouville, os números EL e os números elementares. Os números liouvillianos, denotados por , formam o menor subcorpo algebricamente fechado de fechado sob a exponenciação e logaritmo (formalmente, a intersecção de todos os subcorpos desse tipo) — ou seja, números que envolvem exponenciações e logaritmos explícitos, mas permitem polinômios implícitos e explícitos (raízes de polinômios); isto está definido em . era originalmente chamado de números elementares, mas este termo agora é usado de forma mais ampla para se referir a números definidos explícita ou implicitamente em termos de operações algébricas, exponenciais e logaritmos. Uma definição mais estrita proposta em , denotada por , e referida como números EL, é o menor subcorpo de fechado sob a exponenciação e o logaritmo — isto não precisa ser algebricamente fechado, e corresponde a operações algébricas, exponenciais e logarítmicas explícitas. "EL" significa tanto "exponencial-logarítmico" quanto uma abreviatura para "elementar".
Se um número é ou não um número em forma fechada está relacionado com o fato de ser ou não um número transcendente. Formalmente, os números liouvillianos e elementares contêm os números algébricos, e incluem alguns, mas não todos, os números transcendentes. Em contrapartida, os números EL não contêm todos os números algébricos, mas incluem alguns números transcendentes. Os números em forma fechada podem ser estudados através da teoria dos números transcendentes, onde um resultado importante é o Teorema de Gelfond-Schneider, e uma grande questão em aberto é a Conjectura de Schanuel.
Cálculos numéricos
Para fins de cálculos numéricos, ter uma forma fechada não é, em geral, necessário, uma vez que muitos limites e integrais podem ser eficientemente computados. Algumas equações não têm solução em forma fechada, tais como aquelas que representam o Problema dos três corpos ou o Modelo de Hodgkin-Huxley. Por isso, os estados futuros destes sistemas devem ser calculados numericamente.
Conversão a partir de formas numéricas
Existem softwares que tentam encontrar expressões de forma fechada para valores numéricos, incluindo RIES, o identificador no Maple e o SymPy, o Inversor de Plouffe, e o Calculador Simbólico Inverso (Inverse Symbolic Calculator).
Ver também
Função elementar Análise numérica
Notas
Leitura adicional
Ligações externas
Redes neurais de tempo contínuo de forma fechada
Categoria:Álgebra Categoria:Funções especiais