O número de Prandtl (Pr) é um número adimensional definido como a razão entre a difusividade de momento e a difusividade térmica. Seu nome homenageia o físico alemão e pesquisador de mecânica dos fluidos Ludwig Prandtl. O número pode ser escrito de formas equivalentes a partir das propriedades físicas do fluido:
em que é a viscosidade cinemática, ou difusividade de momento, , em m²/s. é a difusividade térmica, , em m²/s. é a viscosidade dinâmica, em Pa⋅s = N⋅s/m². é a condutividade térmica, em W/(m⋅K). é o calor específico a pressão constante, em J/(kg⋅K). é a densidade, em kg/m³.
Para um fluido newtoniano de composição fixada, Pr é determinado pelas propriedades termofísicas no estado considerado e pode variar com a temperatura e a pressão. Ao contrário do número de Reynolds e do número de Grashof, sua definição não contém uma velocidade ou uma escala de comprimento características do escoamento.
Quando o número de Péclet térmico e o número de Reynolds são definidos com a mesma velocidade e o mesmo comprimento característicos,
O análogo do número de Prandtl na transferência de massa é o número de Schmidt. A razão entre o número de Schmidt e o número de Prandtl recebe o nome de número de Lewis.
Em escoamentos turbulentos, define-se separadamente o número de Prandtl turbulento, dado pela razão entre as difusividades turbulentas de momento e de calor:
em que , ou , é a difusividade turbulenta de momento e , ou , é a difusividade turbulenta de calor. O número de Prandtl turbulento é usado na modelagem da transferência de calor em escoamentos turbulentos e, ao contrário do número de Prandtl molecular, depende do transporte turbulento adotado no modelo.
Valores experimentais O número de Prandtl costuma aparecer em tabelas de propriedades de fluidos ao lado de grandezas como viscosidade e condutividade térmica.
Para a maioria dos gases, Pr varia pouco em intervalos amplos de temperatura e pressão. Para gases monoatômicos ideais, a teoria cinética dos gases prevê Pr = 2/3, valor próximo das medições. A fórmula de Eucken fornece uma estimativa para gases ideais:
em que é a razão entre capacidades térmicas do gás. A expressão é aproximada. Ela reproduz bem o comportamento de gases com moléculas simples, mas pode apresentar desvios maiores para moléculas mais complexas.
Nos líquidos, o número de Prandtl costuma diminuir acentuadamente com o aumento da temperatura. Líquidos formados por moléculas grandes e complexas costumam apresentar Pr maior que líquidos compostos por moléculas menores.
Alguns valores representativos de Pr são:
Metais líquidos chumbo a 973 K: Pr = 0,0104. mercúrio a 300 K: Pr = 0,0248. NaK, mistura eutética de sódio e potássio, a 673 K: Pr = 0,0068. potássio a 973 K: Pr = 0,0029.
Gases hidrogênio, entre 100 e 1000 K: Pr = 0,68. gases monoatômicos, como hélio e argônio, com pequena dependência da temperatura: Pr = 2/3. nitrogênio e oxigênio abaixo de 1000 K: Pr entre 0,71 e 0,76. ar, composto principalmente por nitrogênio e oxigênio, entre 250 e 1000 K: Pr entre 0,70 e 0,73. HCFC-22 (R-22) em fase de vapor a 300 K: Pr = 0,977. vapor de água a 300 K: Pr = 1,02. vapor de amônia a 300 K: Pr = 1,12.
Líquidos amônia líquida a 300 K: Pr = 1,29. HCFC-22 (R-22) líquido a 300 K: Pr = 2,48. água: Pr = 10,6 a 280 K, 5,9 a 300 K e 2,0 a 360 K. metanol a 300 K: Pr = 6,7. n-butanol: Pr = 50. glicerol a 30 °C: Pr = 5.160. polímeros fundidos: Pr = 10.000. óleo de motor não utilizado a 300 K: Pr = 6.400.
Aplicação à medição de propriedades Como Pr varia pouco para muitos gases, ele pode ser usado para estimar a condutividade térmica em altas temperaturas, faixa em que a medição direta é dificultada pela formação de correntes de convecção.
Refrigeração termoacústica O número de Prandtl afeta o desempenho de sistemas de refrigeração termoacústica. Misturas de hélio com argônio, criptônio ou xenônio permitem obter valores de Pr entre 0,2 e 0,67. Em ensaios com essas misturas, o desempenho do refrigerador aumentou à medida que Pr diminuiu. Uma mistura com 30% de xenônio, com Pr = 0,2, apresentou coeficiente de desempenho relativo ao ciclo de Carnot 70% maior que o obtido com hélio puro.
No Brasil, Rafael de Freitas Sartori e João Manoel Dias Pimenta, da Universidade de Brasília, apresentaram em 2005 uma análise teórica e uma avaliação experimental de um refrigerador termoacústico cujo projeto foi guiado por um algoritmo de otimização.SARTORI, Rafael de Freitas; PIMENTA, João Manoel Dias. "Análise teórica e avaliação experimental de um refrigerador termoacústico guiada por um algoritmo de otimização". Trabalho apresentado no VIII Congreso Iberoamericano de Aire Acondicionado, Calefacción y Refrigeración, Montevidéu, 2005.
Interpretação física miniatura|Comparação entre as espessuras relativas das camadas limite térmica e de velocidade para diferentes números de Prandtl. Quando Pr = 1, as duas têm a mesma espessura.
O número de Prandtl relaciona o crescimento da camada limite de momento ao da camada limite térmica. Para valores pequenos, Pr < 1, a difusividade térmica é maior que a difusividade de momento e a camada limite térmica cresce mais rapidamente que a camada limite de momento. Para valores grandes, Pr > 1, a difusividade de momento é maior e a camada limite térmica é mais fina.
O mercúrio líquido, por exemplo, apresenta alta condutividade térmica e Pr = 0,0248 a 300 K. O calor se difunde com muito mais facilidade que o momento, fazendo com que a camada limite térmica seja espessa em relação à camada limite de velocidade. O óleo de motor, por sua vez, apresenta alta viscosidade e baixa condutividade térmica, fazendo com que o momento se difunda com mais facilidade que o calor. Os números de Prandtl dos gases ficam próximos de 1, correspondendo a taxas semelhantes de difusão de momento e calor.
Em uma camada limite laminar sobre uma placa plana, a razão entre as espessuras das camadas limite térmica e de momento, para a faixa indicada, é bem aproximada por
em que é a espessura da camada limite térmica e é a espessura da camada limite de momento. No limite de Pr pequeno, a dependência assintótica passa a ser
Para uma camada limite laminar e incompressível sobre uma placa plana isotérmica, as soluções assintóticas para o número de Nusselt local são
e, para Pr pequeno,
em que e são os números de Reynolds e Péclet locais calculados à distância da borda de ataque. Uma correlação que interpola entre os limites de Pr alto e baixo é
Ver também Número de Prandtl turbulento, razão entre as difusividades turbulentas de momento e calor Número de Prandtl magnético, razão entre as difusividades viscosa e magnética Número de Péclet, relacionado ao número de Prandtl por Pe = Re Pr no transporte térmico Número de Nusselt, relaciona a transferência de calor por convecção à condução térmica na fronteira
Leitura adicional
Categoria:Números adimensionais em mecânica dos fluidos Categoria:Transferência de calor