No cálculo, a derivada em um ponto de uma função representa a taxa de variação instantânea de em relação a neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo, a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto de representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto .STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 159. A função que a cada ponto associa a derivada neste ponto de é chamada de função derivada de f(x).
right|thumb|300px|Em cada ponto, a derivada de é a tangente do ângulo que a reta tangente à curva faz em relação ao eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.
Notação Duas distintas notações são comumente utilizadas para a derivada, o resultante de Leibniz e o outro a partir de Joseph Louis Lagrange.
Na notação de Leibniz, uma mudança infinitesimal em x é denotada por dx, e a derivada de y em relação a x é escrito .
sugerindo que a razão de duas quantidades infinitesimais (A expressão acima é lido como "a derivada de y em relação a x", "dy por dx", ou "dy sobre dx". A forma oral dydx é usado frequentemente em tom de conversa, embora possa levar à confusão).
Na notação de Lagrange, a derivada em relação a x de uma função F(x) é denotada f'(x) ou fx'(x), em caso de ambiguidade da variável implicada pela derivação. A notação de Lagrange é por vezes incorretamente atribuída a Newton.
Definição
Seja um intervalo aberto não-vazio e seja , , uma função de em . Diz-se que função é derivável no ponto se existir o seguinte limite:STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 156. . Se for esse o caso, o número real é chamado de derivada da função no ponto . Notações equivalentes são:
.
Equivalentemente, escrevemos:
o que é obtido fazendo no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de por:
para todo para o qual este limite existe.
Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.
Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente. thumb|280px|centro|Inclinação da secante ao gráfico de f thumb|255px|centro|Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x) Seja f uma função real definida em uma vizinhança aberta de um número real a.
Na geometria clássica, a linha tangente ao gráfico da função f em a foi a única linha que passou pelo ponto (a, f(a)) que não encontrou o gráfico de f transversalmente, significando que a linha não passou diretamente pelo gráfico.
O declive da secante ao gráfico de f, na imagem acima, que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton: .
Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que . Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).
Funções com valores em R
Se for um intervalo de com mais do que um ponto e se for uma função de em , para algum número natural , as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função (ou seja: uma função que a cada x do domínio em responde com uma coordenada no contradomínio em . Esta coordenada é . é derivável e
thumb|O gráfico de uma função, desenhadas em preto, e uma linha tangente a essa função, elaborado em vermelho. A inclinação da linha tangente é igual a derivada da função no ponto marcado. De fato, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, exceto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.
Diferenciabilidade Derivabilidade em um ponto Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ e seja uma função de em R derivável em . Então é contínua em . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo. Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ e sejam e funções de em R deriváveis em . Então as funções ± , e (caso ≠ ) também são deriváveis em e:
Em particular, se ∈ R, então . Resulta daqui e de se ter que a derivação é uma aplicação linear. Sejam e intervalos de R com mais do que um ponto, seja ∈ , seja uma função de em derivável em e seja seja uma função de em R derivável em . Então o é derivável em e . Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia. Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ e seja uma função contínua de em R derivável em com derivada não nula. Então a função inversa é derivável em e
Outra maneira de formular este resultado é: se está na imagem de e se for derivável em com derivada não nula, então
Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.
center|thumb|400px|Gráfico de uma função derivável.
Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.
center|thumb|190px|Gráfico da função modular, que não é derivável em .
Derivabilidade em todo o domínio Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio. thumb|right|Uma função diferenciável Uma função derivável de em R é constante se e só se a derivada for igual a em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média. Uma função derivável de em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média. Uma função cuja derivada seja sempre maior que é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por . Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes. Se for uma função derivável de em R, sendo um intervalo de R com mais do que um ponto, então também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se for uma função derivável de em R e se for um número real situado entre e (isto é, ≤ ≤ ou ≥ ≥ ), então existe algum ∈ tal que . Este resultado é conhecido por teorema de Darboux. Funções continuamente deriváveis Seja um intervalo de R com mais do que um ponto e seja uma função de em R. Diz-se que é continuamente derivável ou de classe se for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é
pois o limite não existe; em particular, f' não é contínua em .
Derivadas de ordem superior Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:
e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:
ou alternativamente,
ou ainda
Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe Ck.
Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C∞.
Exemplos Se ∈ R, a função de R em R definida por é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a em todos os pontos, pois, para cada ∈ R: . Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em R por , então é contínua e, para cada e cada reais, tem-se ; além disso, .
A função de R em R definida por é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a em todos os pontos, pois, para cada ∈ R: . Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em R por , então é contínua e, para cada e cada reais, tem-se ; além disso, .
A função de R em R definida por é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto ∈ R é igual a , pois: . Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em R por , então é contínua e, para cada e cada reais, tem-se ; além disso, .
A função módulo de R em R não é derivável em pois
No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em é igual a quando e é igual a quando .
Ponto de inflexão Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = . Em um ponto de inflexão, uma função convexa passa a ser uma função côncava, ou vice-versa.
Pontos críticos, estacionários ou singulares
Pontos onde a derivada da função é igual a chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos . Estes pontos podem acontecer: onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função : no ponto a função tem um ponto de inflexão (horizontal). em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.
Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.
Derivadas notáveis
A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculado a partir da definição, considerando o quociente de diferença, e computar o seu limite. Na prática, uma vez que as derivadas de algumas funções simples são conhecidos, as derivadas de outras funções são mais facilmente calculado usando regras para a obtenção de derivadas de funções mais complicadas das mais simples.
A maioria dos cálculos de derivadas, eventualmente, exige a tomada da derivada de algumas funções comuns. A seguinte lista incompleta é de algumas das funções mais frequentemente utilizadas de uma única variável real e seus derivados.
Alguns exemplos de derivadas notáveis são: A função exponencial natural y = ex = exp(x) cuja derivada é igual a si mesma, isto é:
A função logaritmo natural y = ln(x):
Estes dois fatos não são independentes. De fato, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade e da fórmula para a derivada da inversa que
Reciprocamente, supondo-se que, para cada , , então Também são notáveis as derivadas das funções trigonométricas:
E funções Funções trigonométricas inversas: