miniaturadaimagem|Análise do movimento de um fluido através de fluorescência induzida por laser (LIF).
O problema da existência e suavidade de Navier–Stokes diz respeito às propriedades matemáticas das soluções das equações de Navier–Stokes, um sistema de equações diferenciais parciais que descreve o movimento de um fluido no espaço. As soluções das equações de Navier–Stokes são usadas em muitas aplicações práticas. No entanto, a compreensão teórica das soluções dessas equações é incompleta. Em particular, as soluções das equações de Navier–Stokes frequentemente incluem turbulência, que continua sendo um dos maiores problemas em aberto da física, apesar de sua imensa importância na ciência e na engenharia.
Propriedades ainda mais básicas (e aparentemente intuitivas) das soluções de Navier–Stokes nunca foram provadas. Para o sistema tridimensional de equações, e dadas algumas condições iniciais, os matemáticos não provaram que soluções suaves sempre existem, nem encontraram contraexemplos. Isso é chamado de problema da existência e suavidade de Navier–Stokes.
Como se considera que a compreensão das equações de Navier–Stokes é o primeiro passo para entender o fenômeno elusivo da turbulência, o Clay Mathematics Institute em maio de 2000 tornou este problema um de seus sete Problemas do Prêmio Millennium em matemática. Ofereceu um prêmio de US$ 1.000.000 para a primeira pessoa que fornecesse uma solução para uma declaração específica do problema:
As equações de Navier–Stokes
Em matemática, as equações de Navier–Stokes são um sistema de equações diferenciais parciais não lineares para campos vetoriais abstratos de qualquer tamanho. Em física e engenharia, elas são um sistema de equações que modelam o movimento de líquidos ou gases não rarefeitos (nos quais o livre caminho médio é curto o suficiente para que possa ser pensado como um contínuo médio em vez de uma coleção de partículas) usando a mecânica do contínuo. As equações são uma declaração da segunda lei de Newton, com as forças modeladas de acordo com aquelas em um fluido newtoniano viscoso — como a soma das contribuições da pressão, da tensão viscosa e de uma força de corpo externa. Como o cenário do problema proposto pelo Clay Mathematics Institute é em três dimensões, para um fluido incompressível e homogêneo, apenas esse caso é considerado abaixo.
Seja um campo vetorial tridimensional, a velocidade do fluido, e seja a pressão do fluido.Mais precisamente, é a pressão dividida pela densidade do fluido, e a densidade é constante para este fluido incompressível e homogêneo. As equações de Navier–Stokes são:
onde é a viscosidade cinemática, é a força volumétrica externa, é o operador gradiente e é o operador laplaciano, que também é denotado por ou . Observe que esta é uma equação vetorial, ou seja, tem três equações escalares. Escrevendo as coordenadas da velocidade e da força externa
então para cada existe a equação escalar de Navier–Stokes correspondente:
As incógnitas são a velocidade e a pressão . Como em três dimensões existem três equações e quatro incógnitas (três velocidades escalares e a pressão), uma equação suplementar é necessária. Esta equação extra é a equação da continuidade para fluidos incompressíveis que descreve a conservação da massa do fluido:
Devido a esta última propriedade, as soluções das equações de Navier–Stokes são procuradas no conjunto de funções solenoidais ("divergência-nula"). Para este escoamento de um meio homogêneo, a densidade e a viscosidade são constantes.
Como apenas seu gradiente aparece, a pressão p pode ser eliminada tomando o rotacional de ambos os lados das equações de Navier–Stokes. Neste caso, as equações de Navier–Stokes se reduzem às equações de transporte de vorticidade.
As equações de Navier–Stokes são não lineares, o que significa que os termos nas equações não têm uma relação linear simples entre si. Isso significa que as equações não podem ser resolvidas usando técnicas lineares tradicionais, e métodos mais avançados devem ser usados. Essa não linearidade permite que as equações descrevam uma ampla gama de fenômenos de dinâmica dos fluidos, incluindo a formação de ondas de choque e outros padrões de escoamento complexos.
Uma maneira de entender a não linearidade das equações de Navier–Stokes é considerar o termo nas equações. Este termo representa a aceleração do fluido e é um produto do vetor velocidade v e do operador gradiente ∇. Como o operador gradiente é um operador linear, o termo (v · ∇)v é não linear no vetor velocidade v. Isso significa que a aceleração do fluido depende da magnitude e direção da velocidade, bem como da distribuição espacial da velocidade dentro do fluido.
(No caso de escoamento compressível, outra fonte de não linearidade nas equações de Navier–Stokes é o termo de pressão . A pressão em um fluido depende da densidade e do gradiente da pressão, e este termo é, portanto, não linear na pressão.)
Para ver isso mais explicitamente, considere o caso de um obstáculo circular de raio colocado em um escoamento uniforme com velocidade e densidade . Seja a velocidade do fluido na posição e tempo , e seja a pressão na mesma posição e tempo.
As equações de Navier–Stokes neste caso são:
onde é a viscosidade cinemática do fluido.
Supondo que o escoamento é estacionário (o que significa que a velocidade e a pressão não variam com o tempo), podemos igualar os termos de derivada temporal a zero:
Podemos agora considerar o escoamento próximo ao obstáculo circular. Nesta região, a velocidade do fluido será maior do que a velocidade de escoamento uniforme devido à presença do obstáculo. Isso resulta em um termo não linear nas equações de Navier–Stokes que é proporcional à velocidade do fluido.
Ao mesmo tempo, a presença do obstáculo também resultará em um gradiente de pressão, com pressão mais alta perto do obstáculo e pressão mais baixa mais longe. Isso pode ser visto considerando a equação da continuidade, que afirma que a vazão mássica através de qualquer superfície deve ser constante. Como a velocidade é maior perto do obstáculo, a vazão mássica através de uma superfície perto do obstáculo será maior do que a vazão mássica através de uma superfície mais distante do obstáculo. Isso pode ser compensado por um gradiente de pressão, com pressão mais alta perto do obstáculo e pressão mais baixa mais longe.
Como resultado desses efeitos não lineares, as equações de Navier–Stokes neste caso se tornam difíceis de resolver, e aproximações ou métodos numéricos devem ser usados para encontrar os campos de velocidade e pressão no escoamento. Considere o caso de um escoamento de fluido bidimensional em um domínio retangular, com um campo de velocidade e um campo de pressão . Podemos usar um método dos elementos finitos para resolver a equação de Navier–Stokes para o campo de velocidade:
Para fazer isso, dividimos o domínio em uma série de elementos menores e representamos o campo de velocidade como:
onde é o número de elementos, e são as funções de forma associadas a cada elemento. Substituindo esta expressão na equação de Navier–Stokes e aplicando o método dos elementos finitos, podemos derivar um sistema de equações diferenciais ordinárias:
onde é o domínio, e as integrais são sobre o domínio. Este sistema de equações diferenciais ordinárias pode ser resolvido usando técnicas como o método dos elementos finitos ou métodos espectrais.
Aqui, usaremos o método das diferenças finitas. Para fazer isso, podemos dividir o intervalo de tempo em uma série de passos de tempo menores e aproximar a derivada em cada passo de tempo usando uma fórmula de diferenças finitas:
onde é o tamanho do passo de tempo, e e são os valores de e no passo de tempo .
Usando esta aproximação, podemos iterar pelos passos de tempo e calcular o valor de em cada passo de tempo. Por exemplo, começando no passo de tempo e usando a aproximação acima, podemos calcular o valor de no passo de tempo :
Este processo pode ser repetido até atingirmos o passo de tempo final .
Existem muitas outras abordagens para resolver equações diferenciais ordinárias, cada uma com suas próprias vantagens e desvantagens. A escolha da abordagem depende da equação específica sendo resolvida e da precisão e eficiência desejadas da solução.
Duas configurações: espaço não limitado e periódico Existem duas configurações diferentes para o problema de existência e suavidade de Navier–Stokes do prêmio de um milhão de dólares. O problema original está em todo o espaço , o que exige condições extras sobre o comportamento de crescimento da condição inicial e das soluções. Para descartar os problemas no infinito, as equações de Navier–Stokes podem ser definidas em um quadro periódico, o que implica que elas não estão mais trabalhando em todo o espaço , mas no toro tridimensional . Cada caso será tratado separadamente.
Declaração do problema no espaço total
Hipóteses e condições de crescimento
A condição inicial é assumida como uma função suave e com divergência nula (veja função suave) tal que, para cada multi-índice (veja notação de multi-índice) e qualquer , existe uma constante tal que
para todo
A força externa é assumida como uma função suave também e satisfaz uma desigualdade muito análoga (agora o multi-índice inclui também derivadas temporais):
para todo
Para condições fisicamente razoáveis, o tipo de soluções esperadas são funções suaves que não crescem muito à medida que . Mais precisamente, as seguintes suposições são feitas:
Existe uma constante tal que para todo
A condição 1 implica que as funções são suaves e definidas globalmente, e a condição 2 significa que a energia cinética da solução é globalmente limitada.
As conjecturas do Prêmio Millennium no espaço total (A) Existência e suavidade das soluções de Navier–Stokes em
Seja . Para qualquer condição inicial satisfazendo as hipóteses acima, existem soluções suaves e definidas globalmente para as equações de Navier–Stokes, ou seja, existe um vetor velocidade e uma pressão satisfazendo as condições 1 e 2 acima.
(B) Ruptura das soluções de Navier–Stokes em
Existe uma condição inicial e uma força externa tais que não existem soluções e satisfazendo as condições 1 e 2 acima.
As conjecturas do Prêmio Millennium são dois problemas matemáticos que foram escolhidos pelo Clay Mathematics Institute como os problemas não resolvidos mais importantes da matemática. A primeira conjectura, que é conhecida como conjectura da "suavidade", afirma que deve sempre existir soluções suaves e definidas globalmente para as equações de Navier–Stokes no espaço tridimensional. A segunda conjectura, conhecida como conjectura da "ruptura", afirma que deve haver pelo menos um conjunto de condições iniciais e forças externas para o qual não existem soluções suaves para as equações de Navier–Stokes. As equações de Navier–Stokes são um conjunto de equações diferenciais parciais que descrevem o movimento de fluidos. Elas são dadas por:
onde é o campo de velocidade do fluido, é a pressão, é a densidade, é a viscosidade cinemática, e é uma força externa. A primeira equação é conhecida como equação do momento, e a segunda equação é conhecida como equação da continuidade.
Essas equações são tipicamente acompanhadas por condições de contorno, que descrevem o comportamento do fluido nas bordas do domínio. Por exemplo, no caso de um fluido fluindo através de um tubo, as condições de contorno podem especificar que a velocidade e a pressão são fixas nas paredes do tubo.
As equações de Navier–Stokes são não lineares e altamente acopladas, tornando-as difíceis de resolver em geral. Em particular, a dificuldade de resolver essas equações está no termo , que representa a advecção não linear do campo de velocidade por si mesmo. Este termo torna as equações de Navier–Stokes altamente sensíveis às condições iniciais, e é a principal razão pela qual as conjecturas do Prêmio Millennium são tão desafiadoras.