A impedância mecânica é uma medida de quanto uma estrutura se opõe ao movimento quando submetida a uma força harmônica. Ela relaciona a força aplicada à velocidade resultante em um sistema mecânico. Em regime harmônico, a impedância mecânica no ponto de excitação é a razão entre as amplitudes complexas da força aplicada e da velocidade resultante, medidas no mesmo ponto e na mesma direção.
Na relação escalar, a impedância é o inverso da admitância mecânica, também chamada de mobilidade. Ela depende da frequência angular da força aplicada e pode variar bastante com a frequência. No oscilador linear de um grau de liberdade com amortecimento viscoso constante, seu módulo atinge um mínimo na frequência de ressonância da velocidade. Nessa frequência, é necessária menos força para manter uma determinada amplitude de velocidade. Um exemplo intuitivo de ressonância é empurrar uma criança em um balanço. Impulsos repetidos em um ritmo próximo ao da oscilação natural podem produzir grandes amplitudes de oscilação.
Definição e representação Para um sistema linear com mais de um grau de liberdade, a relação entre forças e velocidades pode ser escrita como
Nessa expressão, e são vetores que reúnem as amplitudes complexas das forças e das velocidades nas coordenadas consideradas, e é a matriz de impedância. Se a matriz de mobilidade satisfaz , então , quando essa inversa existe. Essa operação não consiste em tomar o inverso de cada elemento separadamente.
Os elementos dessa matriz são impedâncias bloqueadas. Cada um relaciona uma força à velocidade imposta em uma coordenada, mantendo nulas as velocidades nas demais coordenadas consideradas. O inverso de uma mobilidade medida com os demais pontos livres de forças de restrição é uma impedância livre e não corresponde, em geral, a um elemento da matriz de impedâncias bloqueadas.
Para uma excitação senoidal em regime permanente, força e velocidade podem ser representadas por amplitudes complexas, ou fasores. Adotando a dependência temporal , os sinais físicos são obtidos tomando a parte real das expressões complexas. Na forma escalar, a impedância pode ser escrita como
em que e são as amplitudes complexas. O módulo da impedância é a razão entre as amplitudes da força e da velocidade, enquanto seu argumento corresponde à diferença de fase entre elas. Quando força e velocidade estão em fase, a impedância é real.
No Sistema Internacional de Unidades, a impedância mecânica de translação é expressa em newton-segundo por metro, N·s/m, equivalente a kg/s. Sua dimensão é M·T−1. Nos movimentos de rotação, a relação correspondente usa o torque e a velocidade angular no lugar da força e da velocidade linear.
A razão entre força e deslocamento é a rigidez dinâmica. Para as mesmas coordenadas e condições de restrição, sua relação com a impedância é
em que é a amplitude complexa do deslocamento. A rigidez dinâmica de translação é expressa em N/m, enquanto a impedância é expressa em N·s/m.
A relação entre força e velocidade tem análogos em outros sistemas. Na eletricidade, a impedância relaciona tensão elétrica e corrente elétrica. Na acústica, relaciona pressão sonora e vazão volumétrica. Nos modelos térmicos baseados nessa analogia, as grandezas correspondentes são a diferença de temperatura e a taxa de transferência de calor, medida em watts.
Quando força e velocidade são medidas no mesmo ponto e na mesma direção, fala-se em impedância no ponto de excitação. Quando os pontos ou as direções de medição são diferentes, fala-se em impedância de transferência. As condições de restrição dos demais pontos também precisam ser especificadas.
Oscilador harmônico forçado e amortecido Um exemplo usado para ilustrar a impedância mecânica é o oscilador harmônico forçado e amortecido, constituído por um sistema massa-mola com amortecimento viscoso linear e submetido a uma força harmônica. Em notação complexa, sua equação de movimento é
em que é a massa, é o coeficiente de amortecimento viscoso, é a rigidez e é a amplitude da força aplicada. Nesse modelo, e são constantes positivas, e é uma constante não negativa. A força física é a parte real de , ou seja, .
Nessa representação, o movimento harmônico em regime permanente é escrito como , em que é a amplitude complexa do deslocamento. A velocidade é . A substituição dessas expressões na equação de movimento fornece a relação entre força e velocidade no domínio da frequência:
Para , a impedância mecânica é
A mesma expressão pode ser escrita como
em que é a frequência angular natural não amortecida e é o coeficiente de amortecimento por unidade de massa, expresso em s−1. A razão de amortecimento adimensional é normalmente representada por e vale
A impedância pode ser decomposta em resistência mecânica e reatância mecânica:
em que
A parte real corresponde à dissipação de energia pelo amortecimento, enquanto a parte imaginária corresponde à resposta reativa da massa e da mola, que armazenam energia cinética e elástica. O termo é a reatância inercial, enquanto é a reatância elástica. Na frequência angular natural , essas reatâncias se cancelam e a impedância é puramente real:
Para uma força de amplitude fixa e , a amplitude da velocidade é máxima nessa frequência e vale . A resposta em velocidade é limitada pelo amortecimento.
Esse máximo de velocidade não coincide, em geral, com o máximo de deslocamento. Para uma força de amplitude fixa, o pico de deslocamento ocorre na frequência angular
quando . Para valores maiores ou iguais a , a resposta em deslocamento não tem um pico em frequência positiva.
No caso ideal sem amortecimento, , uma força não nula aplicada exatamente em não produz uma resposta harmônica em regime permanente de amplitude finita.
Para uma resposta harmônica de amplitude finita, a potência média dissipada pelo amortecedor é
em que é a amplitude de pico da velocidade. A resistência mecânica determina a energia dissipada por unidade de tempo, enquanto a massa e a mola ideais não dissipam energia.
Analogia elétrica miniatura|180px|alt=Fonte de tensão alternada ligada em série a um resistor R, um indutor L e um capacitor C.|Circuito RLC em série, análogo ao sistema massa-mola-amortecedor na analogia de impedância.
A expressão da impedância mecânica é diretamente análoga à impedância de um circuito RLC em série. Na notação usada em engenharia elétrica, costuma representar a unidade imaginária , evitando confusão com o símbolo da corrente elétrica:
Na analogia de impedância, as grandezas mecânicas e elétricas correspondem da seguinte maneira:
Grandeza mecânica Grandeza elétrica análoga Força Tensão elétrica Velocidade Corrente elétrica Massa Indutância Coeficiente de amortecimento Resistência elétrica Rigidez Inverso da capacitância
Medição e aplicações Em ensaios de vibração, a estrutura pode ser excitada por um vibrador, enquanto transdutores medem a força aplicada e o movimento resultante. A resposta pode ser medida por um acelerômetro. Para um movimento harmônico, a amplitude complexa da velocidade é obtida pela relação
em que é a amplitude complexa da aceleração. A determinação da impedância exige a razão entre as amplitudes da força e da velocidade e a diferença de fase entre os sinais.
As medições não precisam usar apenas uma excitação senoidal. Para um sistema linear, as funções de resposta em frequência também podem ser obtidas a partir de sinais aleatórios ou transitórios, por meio das transformadas de Fourier da excitação e da resposta.
As medições de mobilidade e impedância são usadas na análise modal para determinar frequências naturais, formas de vibração e amortecimento. Também permitem prever a resposta a forças conhecidas e calcular a interação dinâmica entre componentes de uma estrutura.
Ver também Impedância acústica, relação análoga entre pressão sonora e movimento em sistemas acústicos Resposta em frequência, dependência da resposta de um sistema em relação à frequência de excitação Impedância elétrica, grandeza elétrica análoga à impedância mecânica Oscilador harmônico, modelo usado na análise de sistemas vibratórios
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