thumb|A transformada de Radon auxilia na análise de projeções de objetos sobre linhas retas. thumb|Transformada de Radon da função indicadora de dois quadrados mostrados na imagem abaixo. Regiões mais claras indicam valores maiores da função; preto indica zero (ver sinograma). thumb|A função original f(x,y) é igual a um sobre a região branca e zero na região escura. thumb|300 px|A teoria da transformada de Radon fornece a base matemática para a tomografia computadorizada.
Em matemática, a transformada de Radon em duas dimensões, nomeada em homenagem ao matemático austríaco Johann Radon, é a transformada integral consistindo da integral de uma função sobre linhas retas. A transformada foi introduzida por Johann Radon em 1917,; Translation: que também forneceu uma fórmula para a transformada inversa. Radon posteriormente incluiu fórmulas para a transformada em três dimensões, na qual a integral é tomada sobre planos. Ela foi posteriormente generalizada para espaços Euclidianos de dimensões mais altas, e mais amplamente no contexto da geometria integral. O análogo complexo da transformada de Radon é conhecido como a transformada de Penrose.
A transformada de Abel é um caso especial da transformada de Radon bidimensional.S. Deans - Radon and Abel Transforms in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 8, pp. 739 a 740Na verdade, uma das definições daquela transformada. Ver o verbete Transformada de Abel.
O tema do trabalho original de Radon era o que se conhece por problema da reconstrução a partir das projeções, isto é, como obter uma função f(x,y), não observável diretamente, a partir de suas projeções φx(y) medidas sobre o plano. Esse problema reveste-se de interesse em áreas tão diversas quanto diagnóstico por imagem, óptica, interferometria holográfica, geofísica, radioastronomia, cristalografia, microscopia, ciência dos materiais e também na matemática pura. De forma geral, a transformada de Radon é útil sempre que se deseja obter informação sobre a estrutura interna de um objeto através de uma sondagem do seu contorno. Entende-se que o advento da tomografia computadorizada na década de 1970 foi um fato extremamente relevante para o aumento do interesse da comunidade técnica nessa transformada. O problema da reconstrução a partir das projeções é resolvido pela transformada de Radon inversa.S. Deans - op. cit., cap. 8, pp. 772 a 776R. Bracewell - The Fourier Transform and its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1, Cap. 13, pp. 356 a 358
Define-se também a transformada generalizada de Radon atribuindo-se um peso diferente para cada projeção.E. Miqueles - A Transformada Generalizada Atenuada de Radon: Inversão Analítica, Aproximações, Métodos Iterativos e Aplicações em Tomografia por Fluorescência, Fapesp, Campinas, 2010, Cap. 2, pp. 9 a 17
História Radon demonstrou em 1917 como reconstruir uma função de duas variáveis a partir de suas integrais (de linha) sobre todas as linhas retas de um plano. Também generalizou seus resultados de forma a permitir a reconstrução a partir de linhas curvas, bem como expandiu as definições para dimensões superiores, com o objetivo de permitir a reconstrução de uma função de n variáveis a partir de suas projeções em todos os hiperplanos pertinentes.
Apesar de a transformada encontrar algumas aplicações na solução de algumas equações diferenciais parciais hiperbólicas, ela ficou praticamente esquecida até 1963, quando o físico Allan Cormack reconheceu que ela constituía a resposta matemática para o problema prático de obter mapas dos coeficientes de absorção de radiação para as diferentes seções do corpo humano. O engenheiro biomédico Godfrey Hounsfield, a par desses resultados, construiu uma nova e revolucionária máquina de raios X. Cormack e Hounsfield passaram a trabalhar juntos para aperfeiçoar as técnicas e finalmente desenvolveram a técnica de tomografia axial computadorizada, que lhes valeu o Prêmio Nobel de Fisiologia e Medicina de 1979.L. Debnath, D. Bhatta - Integral Transforms and Their Applications, 2nd. Edition, 2007, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-575-7, Cap. 18, pp. 539 a 540
Definição
Condições de existência Um conjunto de condições suficiente para a existência da transformada de Radon é que a função f a ser transformada seja infinitamente diferenciável e possua suporte compacto em seja infinitamente diferenciável e decresça de forma rápida em Essas condições, no entanto, não são estritamente necessárias. Sob certas condições, é possível relaxá-las. No entanto, a maioria das funções encontrada nas aplicações práticas atende às condições acima.S. Deans - op. cit., cap. 8, pp. 742 a 746
Domínios O espaço Euclidiano n-dimensional, com n > 1, que é o domínio da função f que se deseja estudar, é chamado espaço de características (ing. feature space). f descreve a distribuição espacial de uma dada grandeza física, e será em geral função das coordenadas; a convenção adotada aqui é nomear essas coordenadas como x1, x2 ... xn, para maior generalidade. Em notação matricial, escreve-se simplesmente x.
A transformação de Radon mapeia a função f(x) em uma outra, que denotaremos por φ(), cujo domínio é chamado de espaço de Radon (ing. Radon space). Matematicamente, podemos escrever
onde p são as coordenadas p1, p2 ... pn desse espaço. Em geral, o espaço de características será descrito em coordenadas cartesianas e o de Radon, em coordenadas esféricas (no caso especial de duas dimensões, coordenadas polares).
Como a transformada de Radon está intimamente ligada à transformada de Fourier, é muito comum referenciar-se o domínio da frequência ou espaço de Fourier (ing. Fourier space), isto é, o domínio da função Fn(ω), que é a transformada de Fourier n-dimensional de f(x). Matematicamente, escreve-se
Transformada bidimensional A transformada de Radon bidimensional pode ser descrita por meio de diversas fórmulas. Uma delas é por meio de uma integral de linha:
onde r é o raio vetor do ponto definido pelas coordenadas x, no espaço de características, e L é a linha definida pelas coordenadas polares (ρ,θ) no espaço de Radon. Usando a convenção exposta mais acima, podemos escrever p = {ρ,θ} quando n = 2.
thumb|Definição da transformada bidimensional de Radon por meio da reta AA', expressão (2b) no texto. Outra fórmula equivalente utiliza uma reta ξ, que passa pelo ponto x e pelo ponto p:
onde uθ é um vetor unitário na direção do ponto p, vθ é um vetor unitário na direção da reta ξ (portanto, perpendicular a uθ), e t é a distância do ponto x ao ponto p (na figura ao lado, a reta ξ é a reta AA', o ângulo θ é chamado de α, o vetor uθ, de e o raio vetor r é chamado de s; as coordenadas x são chamadas, como é usual, de x e y).
Uma terceira formulação utiliza a função impulso unitário δ(x)
onde as coordenadas x = {x1,x2} são frequentemente chamadas de x e y. A função impulso unitário é usada em (2c) para transformar a integral de linha sobre o raio vetor r numa integral dupla no plano.
Ainda outra formulação, baseada na reta ξ, como a expressão (2b) é
que se verifica facilmente ser equivalente a (2c).
Uma formulação alternativa e muito útil de (2c) é a seguinte:
S. Deans - op. cit., cap. 8, pp. 749 a 754
Outra formulação alternativa é a expressão (2f)
que permite o cálculo sobre os eixos coordenados separadamente.
Interpretação geométrica thumb|300 px|Relação entre a transformada de Radon e a radiografia: 1-Objeto radiografado; 2-Emissor de raios X; 3-Sensor; 4-Feixe de raios que atravessa o objeto, sofrendo uma atenuação; 5-Limites do aparelho, isto é, o domínio da função φ (na figura um espaço cartesiano {t,s}, não polar {ρ,θ}); 6-Origem dos sistemas de referência; 7-Medida obtida no detector, isto é, os valores de φ. Neste caso, a função f é a forma geométrica do corpo estudado. A interpretação geométrica da transformada de Radon bidimensional leva à consideração do espaço de Radon como a superfície de um semicilindro de comprimento infinito e raio unitário. O parâmetro ρ é então a posição longitudinal de um ponto, contada a partir da origem convencionada, e variando no intervalo [∞,∞]; o parâmetro θ mede a posição angular do ponto a partir de uma origem convencionada, e varia no intervalo [0,π]. O fato de este intervalo ser [0,π] e não [0,2π] deve-se ao fato de δ(x), usada em (2c) e (2d), ser uma função par.
Interpretação física A transformada de Radon pode ser considerada como o resultado de uma varredura que um dispositivo ("scanner"), cujo campo de medição tem a forma de uma faixa estreita (ou fatia), executa sobre a superfície de um objeto. A reta ξ, mencionada em relação às expressões (2b) e (2d), é o lugar geométrico de ρ constante; para cada valor do ângulo θ haverá uma reta correspondente ξθ. Essa reta representa a faixa lida pelo dispositivo. A operação de varredura corresponde ao deslizamento lateral dessa faixa, que fornece a medição contínua da propriedade física dada pela função f(x) no intervalo -∞ < ρ < ∞. O resultado é uma função contínua de ρ, que constitui um perfil de f(x) para um dado θ. A combinação de todos os perfis φ(ρ), correspondentes aos valores de θ no intervalo [0,π], fornece toda a informação possível sobre a distribuição da propriedade física. Essa combinação é a transformada de Radon φ(ρ,θ).
Por exemplo, suponhamos que esse dispositivo seja um aparelho de raios X: o feixe, ao atravessar o objeto radiografado, sofrerá uma atenuação proporcional à massa encontrada no percurso; um sensor medirá a intensidade dos raios que atingem o lado oposto e, portanto, fornecerá informações a respeito da densidade do objeto naquela direção específica. A φ(ρ,θ,ψ) é o conjunto de medições em todas as direções possíveis. A função f(x,y,z) representará então a densidade em todos os pontos do corpo, e pode ser obtida de φ(ρ,θ,ψ) por meio da transformada inversa de Radon.S. Deans - op. cit., cap. 8, pag. 746
Uma plotagem da função φ(ρ,θ) é chamada um sinograma.
Transformada tridimensional A equação (2d) permite a generalização para n = 3 dimensões. Podemos escrever
onde o produto escalar r · uθ, em 3 dimensões, define um plano, e não uma linha. Uma outra forma útil indica explicitamente os ângulos θ1 (ângulo polar) e θ2 (ângulo azimutal):
.
Generalização para n dimensões Uma pequena alteração em (2e) permite usá-la em qualquer número n de dimensões.
Propriedades Nos itens seguintes, foram adotadas as seguintes convenções: a, b e c são constantes reais f(x) e g(x) são funções para as quais a transformada de Radon existe φ(p)/φ(ρ,θ)/φ(ρ,ς) é a transformada de Radon de f(x) γ(p)/γ(ρ,θ)/γ(ρ,ς) é a transformada de Radon de g(x) As transformadas foram expressas de formas diferentes, conforme a conveniência, mas as propriedades não dependem da forma em que a transformada é escrita.
Teorema da fatia central A transformada de Radon está notavelmente associada à transformada de Fourier, de forma tal que
Essa expressão é chamada de teorema da fatia central e vale para qualquer número n de dimensões.Em duas dimensões, esse teorema recebe o nome de teorema da projeção de fatia. Ela advém do fato de que a transformada de Fourier em uma dimensão de uma projeção de f(x) segundo um dado ângulo é simplesmente uma fatia da transformada de Fourier em n dimensões, se o ângulo for mantido fixo.
Linearidade A transformada de Radon é um operador linear. Assim
Escalamento dos eixos Essa propriedade também é referida como a propriedade da similaridade.Entre a função original e a transformada, naturalmente. Em duas dimensões, pode-se escrever:
Uma forma mais geral é a equação (3h), mais abaixo.
Simetrias A transformada de Radon é uma função par:
Um outro tipo de simetria é ilustrado pela expressão (3e), que se refere à transformada bidimensional:
Uma forma mais geral é a equação (3h), mais abaixo.
Deslocamento dos eixos