Infinito é aquilo que não tem limites, fronteiras ou fim. É denotado pelo símbolo , chamado símbolo do infinito.
Desde a época da matemática grega antiga, a natureza filosófica do infinito tem sido objeto de debate. No século XVII, com a introdução do símbolo do infinito e do cálculo infinitesimal, os matemáticos começaram a trabalhar com séries infinitas e com aquilo que alguns deles, entre os quais l'Hôpital e Bernoulli, consideravam quantidades infinitamente pequenas, embora o infinito continuasse associado a processos intermináveis. À medida que os matemáticos se defrontavam com os fundamentos do cálculo, permanecia incerto se o infinito poderia ser considerado um número ou uma grandeza e, em caso afirmativo, de que forma. No final do século XIX, Georg Cantor ampliou o estudo matemático do infinito ao investigar conjuntos infinitos e números transfinitos, mostrando que os conjuntos infinitos podem ter diferentes tamanhos. Por exemplo, se uma reta for vista como o conjunto de todos os seus pontos, sua cardinalidade é maior que a do conjunto dos números inteiros. Nesse uso, infinito é um conceito matemático, e objetos matemáticos infinitos podem ser estudados, manipulados e utilizados como quaisquer outros objetos matemáticos.
O conceito matemático de infinito refina e amplia o antigo conceito filosófico, em particular ao introduzir infinitos tamanhos diferentes de conjuntos infinitos. Entre os axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, na qual se desenvolve grande parte da matemática moderna, está o axioma do infinito, que garante a existência de um conjunto infinito. O conceito matemático de infinito e a manipulação de conjuntos infinitos são amplamente empregados na matemática, inclusive em áreas como a combinatória, que à primeira vista podem parecer não ter relação com eles.
Na física e na cosmologia, permanece em aberto a questão de o universo ser ou não espacialmente infinito. A compatibilidade das observações com uma geometria espacial aproximadamente plana não determina, por si só, a extensão global do universo.
Conceitos básicos miniatura|O triângulo de Sierpiński é um objeto matemático que contém infinitas cópias de si mesmo em escalas menores. A figura representa uma aproximação finita de sua estrutura.
Em matemática, "infinito" não designa uma única entidade que possua as mesmas propriedades em todos os contextos. Na análise, pode indicar comportamento sem limite; na teoria dos conjuntos, aparecem diferentes cardinalidades infinitas; nos reais estendidos, e são valores acrescentados ao sistema; e, em sistemas como os números hiper-reais, existem números infinitos com operações algébricas próprias. Para todo número natural existe ; portanto, o infinito não é o "último" número natural nem simplesmente um número finito extremamente grande.
Uma distinção historicamente importante é aquela entre infinito potencial e infinito atual. O primeiro corresponde a um processo que pode ser continuado indefinidamente, sem que em qualquer etapa se tenha completado uma totalidade infinita. O segundo trata uma coleção ou grandeza infinita como uma totalidade dada. Essa diferença, formulada de maneira especialmente influente por Aristóteles, ajuda a distinguir vários usos posteriores do conceito.
História
Culturas antigas possuíam diferentes concepções acerca da natureza do infinito. Os povos da Índia antiga e da Grécia Antiga não empregavam o formalismo da teoria moderna dos conjuntos, embora tenham desenvolvido reflexões filosóficas e classificações matemáticas relacionadas ao infinito.
Grécia Antiga miniatura|150px|Busto de Aristóteles, cuja distinção entre infinito potencial e infinito atual influenciou a história do conceito.
A mais antiga ideia registrada de infinito na Grécia talvez seja a de Anaximandro (c. 610 – c. 546 a.C.), filósofo grego pré-socrático. Ele empregou a palavra ápeiron, que significa "ilimitado" ou "indefinido" e que também pode ser traduzida como "infinito".
No século IV a.C., Aristóteles distinguiu o infinito potencial do infinito atual. Para ele, uma sequência de operações poderia prosseguir indefinidamente sem que o infinito existisse como totalidade concluída. A divisão de uma grandeza podia continuar sem limite, mas cada etapa permanecia finita. Aristóteles rejeitava, em particular, a existência de uma magnitude espacial efetivamente infinita e a realização completa de uma divisão infinita.
Argumentou-se que, em consonância com essa visão, os gregos helenísticos tinham um "horror ao infinito", o que explicaria, por exemplo, por que Euclides (c. 300 a.C.) não afirmou existir uma infinidade de números primos, mas escreveu que os números primos são mais numerosos do que qualquer quantidade dada de números primos. Também se sustentou que, ao demonstrar o teorema da infinitude dos números primos, Euclides "foi o primeiro a superar o horror ao infinito".
Existe controvérsia semelhante a respeito do postulado das paralelas de Euclides, por vezes traduzido da seguinte forma:
Se uma reta, ao cortar duas outras retas, formar ângulos internos do mesmo lado cuja soma seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas, prolongadas até o infinito, encontrar-se-ão no lado da primeira reta em que a soma dos ângulos internos for menor que dois ângulos retos.
Outros tradutores, porém, preferem a formulação "as duas retas, se prolongadas indefinidamente...", evitando assim a implicação de que Euclides aceitasse uma totalidade infinita concluída. Por fim, também se defendeu que uma reflexão sobre o infinito, longe de provocar um "horror ao infinito", estava subjacente à filosofia grega antiga e que o "infinito potencial" de Aristóteles constitui uma exceção à tendência geral daquele período.
Zenão: Aquiles e a tartaruga
miniatura|Representação das etapas do paradoxo de Aquiles e a tartaruga: a cada etapa, Aquiles alcança uma posição anteriormente ocupada pela tartaruga.
Os paradoxos de Zenão de Eleia (c. 495 – c. 430 a.C.) questionam concepções de pluralidade e movimento e colocam dificuldades relacionadas à divisão infinita do espaço e do tempo. A obra original de Zenão não sobreviveu, e seus argumentos são conhecidos sobretudo por testemunhos posteriores. Por isso, a reconstrução de suas intenções e da forma original dos paradoxos exige cautela. Bertrand Russell descreveu os paradoxos como "imensuravelmente sutis e profundos".
No paradoxo de Aquiles e a tartaruga, Aquiles disputa uma corrida com uma tartaruga, à qual concede certa vantagem inicial.
Etapa 1: Aquiles corre até o ponto de partida da tartaruga, enquanto ela avança. Etapa 2: Aquiles chega ao ponto em que a tartaruga estava ao fim da etapa 1, enquanto ela avança um pouco mais. Etapa 3: Aquiles chega ao ponto em que a tartaruga estava ao fim da etapa 2, enquanto ela avança novamente. Etapa 4: Aquiles chega ao ponto em que a tartaruga estava ao fim da etapa 3, enquanto ela continua avançando.
E isso prossegue indefinidamente. Em termos gerais:
Etapa : Aquiles avança até o ponto em que a tartaruga se encontrava ao fim da etapa , enquanto ela continua avançando.
A dificuldade consiste em explicar como Aquiles pode alcançar a tartaruga se, ao final de cada uma dessas etapas, ela ainda está à sua frente.
Zenão pertenceu à escola eleática, e seus argumentos são tradicionalmente relacionados à defesa das posições de Parmênides. Entretanto, não se deve reduzir a discussão à afirmação de que Aquiles não poderia correr: o paradoxo envolve o significado de completar uma sequência infinita de etapas e a relação entre a descrição matemática e o movimento.
No tratamento matemático moderno, uma soma de infinitos intervalos de tempo pode ser finita. Em seu Cours d'Analyse, de 1821, Augustin-Louis Cauchy apresentou um tratamento sistemático de limites e séries, incluindo a série geométrica. Para , vale:
Suponha que Aquiles corra a 10 metros por segundo, que a tartaruga caminhe a 0,1 metro por segundo e que tenha recebido uma vantagem inicial de 100 metros. Os tempos necessários para completar as etapas formam uma série geométrica com primeiro termo de 10 segundos e razão . Aquiles alcança a tartaruga após
O cálculo mostra que a existência de infinitas etapas na descrição não implica uma duração total infinita. As questões filosóficas sobre movimento, continuidade e supertarefas são, contudo, distintas da demonstração de convergência dessa série.
Índia antiga O texto da matemática jainista Surya Prajnapti (c. séculos IV–III a.C.) classifica os números em três grupos: enumeráveis, inumeráveis e infinitos. Cada um deles era subdividido em três ordens:
Enumeráveis: inferiores, intermediários e superiores. Inumeráveis: quase inumeráveis, verdadeiramente inumeráveis e inumeravelmente inumeráveis. Infinitos: quase infinitos, verdadeiramente infinitos e infinitamente infinitos.
Esses termos pertencem à classificação histórica jainista e não devem ser confundidos automaticamente com as noções modernas de enumerabilidade e cardinalidade.
Século XVII Em Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, publicado em 1638, Galileu Galilei observou que os quadrados perfeitos formam um subconjunto próprio dos números naturais, embora cada natural possa ser associado biunivocamente ao seu quadrado. Diante da aparente incompatibilidade entre a ideia de que o todo deve ser maior que uma parte e a existência de uma bijeção, Galileu concluiu que as relações ordinárias de "maior", "menor" e "igual" não podiam ser aplicadas da mesma maneira às coleções infinitas. A teoria dos conjuntos posterior adotaria a correspondência biunívoca como critério de igualdade de cardinalidade, dando ao paradoxo de Galileu uma interpretação diferente.
No século XVII, matemáticos europeus começaram a empregar números infinitos e expressões infinitas de maneira sistemática. Em 1655, John Wallis utilizou a notação em De sectionibus conicis, e empregou-a em cálculos de áreas ao dividir uma região em faixas infinitesimais de largura da ordem de . Em Arithmetica infinitorum (1656), indicou séries, produtos e frações contínuas infinitas escrevendo alguns termos ou fatores e acrescentando "&c.", como em "1, 6, 12, 18, 24, &c."
Em 1669, Isaac Newton escreveu De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, sobre métodos de análise envolvendo expressões com infinitos termos. O manuscrito circulou entre matemáticos por intermédio de Isaac Barrow e John Collins.
Século XIX: Bolzano miniatura|150px|Bernard Bolzano, autor de Paradoxos do Infinito, publicado postumamente em 1851.
Antes da teoria cantoriana, Bernard Bolzano realizou um estudo sistemático dos paradoxos do infinito. Sua obra Paradoxos do Infinito (Paradoxien des Unendlichen), publicada postumamente em 1851, defendia que muitos fenômenos aparentemente contraditórios envolvendo o infinito podiam ser tratados de forma logicamente coerente. Bolzano reconheceu que uma coleção infinita podia ser colocada em correspondência biunívoca com uma de suas partes próprias, embora não adotasse essa correspondência como critério geral de igualdade de tamanho. Seu trabalho antecedeu a teoria desenvolvida posteriormente por Cantor e outros matemáticos.
Símbolo
miniatura|Trecho de De sectionibus conicis (1655), de John Wallis, com o símbolo .
O símbolo do infinito , por vezes chamado lemniscata, representa o conceito de infinito em diferentes contextos matemáticos. Ele está codificado no Unicode como U+221E, "INFINITY", e no LaTeX como \infty.
O símbolo foi introduzido por John Wallis em 1655, e também tem sido empregado fora da matemática, no misticismo moderno e na simbologia literária.
Cálculo