Em matemática, uma matriz elementar é uma matriz que difere da matriz identidade por uma única operação elementar de linha. As matrizes elementares geram o grupo linear geral de matrizes invertíveis. A multiplicação à esquerda (pré-multiplicação) por uma matriz elementar representa operações elementares de linha, enquanto a multiplicação à direita (pós-multiplicação) representa operações elementares de coluna.

Operações elementares de linha são usadas na eliminação gaussiana para reduzir a matriz a forma escalonada. Elas também são usadas na eliminação de Gauss-Jordan para reduzir ainda mais a matriz à forma reduzida escalonada.

Operações elementares de linha Existem três tipos de matrizes elementares, que correspondem a três tipos de operações de linha (respectivamente, operações de coluna):

Troca de linhaUma linha dentro da matriz pode ser alternada com outra linha.

Multiplicação de linhaCada elemento em uma linha pode ser multiplicado por uma constante diferente de zero.

Adição de linhaUma linha pode ser substituída pela soma dessa linha e um múltiplo de outra linha.

Se é uma matriz elementar, como descrito abaixo, para aplicar a operação de linha elementar a uma matriz , multiplica-se pela matriz elementar à esquerda, . A matriz elementar para qualquer operação de linha é obtida executando a operação na matriz identidade.

Transformações de comutação de linha O primeiro tipo de operação de linha em uma matriz alterna todos os elementos da matriz na linha com seus equivalentes na linha . A matriz elementar correspondente é obtida trocando a linha e a linha da matriz identidade.

Então é a matriz produzida pela troca da linha e de .

Propriedades A inversa dessa matriz é ela mesma: Como o determinante da matriz de identidade é a unidade, . Segue-se que, para qualquer matriz quadrada (do tamanho correto), temos

Transformações de multiplicação de linhas O próximo tipo de operação de linha em uma matriz multiplica todos os elementos da linha por , em que é um escalar diferente de zero (geralmente um número real). A matriz elementar correspondente é uma matriz diagonal, com entradas diagonais 1 em todos os lugares, exceto na -ésima posição, onde é .

Então é a matriz produzida a partir da multiplicação da linha por .

Propriedades A inversa dessa matriz é: A matriz e sua inversa são matrizes diagonais. . Portanto, para uma matriz quadrada (do tamanho correto), temos .

Transformações de adição de linha O tipo final de operação de linha em uma matriz adiciona a linha multiplicada por um escalar à linha . A matriz elementar correspondente é a matriz identidade, mas com um na posição .

Então é a matriz produzida a partir de adicionando vezes a linha à linha . E é a matriz produzida a partir de adicionando vezes a coluna à coluna .

Propriedades Essas transformações são uma espécie de transformação de cisalhamento. (matriz inversa). A matriz e sua inversa são matrizes triangulares. . Portanto, para uma matriz quadrada (do tamanho correto) temos . As transformações de adição de linha satisfazem as relações de Steinberg.

Referências

Categoria:Matrizes Categoria:Álgebra linear