Princípio mínimo de Pontryagin (ou máximo) é utilizado na teoria controle otimizado para encontrar o melhor controle possível para a tomada de sistemas dinâmicos de um estado para outro, especialmente na presença de restrições para os controles de estado ou de entrada. O princípio foi formulada pelo matemático russo Lev Semenovich Pontryagin e seus alunos. Ele tem como um caso especial da equação do cálculo das variações de Euler-Lagrange. O princípio afirma, informalmente, que o Hamiltoniano deve ser minimizado sobre , o conjunto de todos os controles permitidos. Se é o controle ideal para o problema, então o princípio afirma que:
onde é o estado ideal de trajetória e é o coestado ideal de trajetória. O controlo óptimo e as suas múltiplas aplicações por Cristiana J. Silva - Boletim da SPM 61, Outubro 2009, pp. 11–37 [] O resultado foi aplicado com sucesso em problemas de tempo mínimo onde o controle de entrada é restringido, mas pode também ser útil no estudo de problemas estado limitado. Condições especiais para o Hamiltoniano também podem ser derivadas. Quando o tempo final é fixo e o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo , então:
e se o tempo final é livre, então:
Quando satisfeito ao longo de uma trajetória, o princípio mínimo de Pontryagin é uma condição necessária para um ótimo. A equação HJB fornece condições suficientes para um ótimo, mas essa condição deve ser satisfeita sobre a totalidade do estado do espaço. Pontryagin, L.S. et al. The Mathematical Theory of Optimal Processes, vol. 4. Interscience, 1962. Translation of a Russian book. ISBN 2881240771 and ISBN 978-2881240775
Maximização e minimização
O princípio foi inicialmente conhecido como princípio máximo de Pontryagin e sua prova é historicamente baseado na maximização do Hamiltoniano. A aplicação inicial desse princípio foi para a maximização da velocidade terminal de um foguete. Contudo, como foi subsequentemente utilizado principalmente para minimização do índice de desempenho foi então referido como o princípio mínimo. O livro Pontryagin resolveu o problema de minimizar um índice de desempenho. See p.13 of the 1962 book of Pontryagin et al. referenced below.
Anotação No que segue estaremos fazendo uso da anotação abaixo.
Ver também Multiplicadores de Lagrange Método do gradiente conjugado Sistema hamiltoniano Equação de Hamilton–Jacobi
Categoria:Teoremas de matemática Categoria:Teoria de controle Categoria:Cálculo
fr:Commande optimale#Principe du maximum ru:Оптимальное управление#Принцип максимума Понтрягина