A taxa de aumento de uma população é a soma das taxas de natalidade () e migração (), menos a taxa de mortalidade ()
O aumento da população num instante dado é igual ao produto da população nesse instante vezes a taxa de aumento da população; se a população no instante for representada pela função , o aumento da população será também igual à derivada de
Para poder resolver esta equação é preciso conhecer a dependência de com o tempo. Veremos dois casos simples Modelo de Malthus Se a taxa de aumento da população () for constante a equação diferencial anterior será uma equação de variáveis separáveis
Onde é a população em . Este modelo pode ser uma boa aproximação em certo intervalo, mas tem o inconveniente que a população cresce sem limite.
Modelo logístico Considera-se uma taxa de mortalidade que aumenta diretamente proporcional à população, com taxas de natalidade e migração constantes. A taxa de aumento da população é assim
com e constantes. A equação diferencial obtida é uma equação de Bernoulli
Neste modelo a população não cresce indiscriminadamente, pois a medida que aumenta, a taxa de aumento diminui chegando eventualmente a ser nula e nesse momento permanece constante. Por meio da substituição obtém-se uma equação linear
Que pode ser resolvida multiplicando os dois lados pelo fator integrante
A população aproxima-se assimptoticamente do valor limite . Ver também Equação diferencial Equação diferencial linear Equação diferencial de Bernoulli
Categoria:Equações diferenciais