miniaturadaimagem|300x300px|Um exemplo de kernel: o operador linear transforma todos os pontos da reta para o ponto zero , formando assim o kernel do operador linear Em matemática, mais especificamente em álgebra linear e análise funcional, o núcleo (kernel, em inglês) ou espaço nulo de uma transformação linear entre dois espaços vetoriais V e W, é o conjunto de todos os elementos v de V para os quais , em que 0 denota o vetor nulo de W. Em outras palavras,
Propriedades miniaturadaimagem|346x346px|O núcleo (Ker) e a imagem de uma transformação L. O núcleo de L é um subespaço vetorial do domínio V.A Álgebra Linear, como discutida neste artigo, é uma disciplina matemática muito bem estabelecida para a qual há muitas fontes. Praticamente todo o material deste artigo pode ser encontrado em , , e nas aulas de Strang. Para uma transformação linear , dois elementos de V têm a mesma imagem em W se, e somente se, a sua diferença reside no núcleo de L:
Segue-se que a imagem de L é isomorfa ao quociente de V pelo núcleo:
Isto implica o teorema do posto e nulidade:
onde, por posto entende-se a dimensão da imagem de L, e por nulidade, a dimensão do núcleo de L.
Quando V é um espaço com produto interno, o quociente pode ser identificado com o complemento ortogonal de ker(L) em V. Esta é a generalização para operadores lineares do espaço linha, ou coimagem, de uma matriz.
Aplicação aos módulos A noção de núcleo aplica-se aos homomorfismos de módulos, sendo estes últimos uma generalização dos espaços vetoriais sobre um corpo para um anel. O domínio da função passa a ser um módulo, e o núcleo constitui um "submódulo". Aqui, os conceitos de posto e de nulidade, não se aplicam necessariamente.
Na análise funcional Se V e W são espaços vetoriais topológicos (e, W é de dimensão finita) então um operador linear L: V → W é contínuo se, e somente se, o núcleo de L é um subespaço fechado de V.
Representação como a multiplicação de matrizes Considere uma transformação linear representada como uma matriz A de ordem m × n com coeficientes em um corpo K (normalmente o corpo dos números reais ou dos números complexos) e atuando sobre vetores coluna x com n componentes sobre K. O núcleo desta transformação linear é o conjunto de soluções para a equação , em que 0 é entendido como o vetor nulo. A dimensão do núcleo de A é chamada de nulidade de A. Em notação de conjuntos,
A equação matricial é equivalente a um sistema de equações lineares homogêneas:
Assim, o núcleo de A é o mesmo que o conjunto solução para o sistema homogêneo acima.
Propriedades de subespaço O núcleo de uma matriz A de ordem sobre um corpo K é um subespaço vetorial de Kn. Isto é, o núcleo de A, o conjunto Ker(A), tem as seguintes três propriedades:
Ker(A) sempre contém o vetor nulo, uma vez que . Se e , então . Isso decorre da distributividade da multiplicação de matrizes sobre a adição. Se e é um escalar, então , uma vez que .
O espaço linha de uma matriz O produto Ax pode ser escrito em termos do produto escalar de vetores da seguinte forma:
Aqui a1, ... , am indicam as linhas da matriz A. Segue-se que x está no núcleo de A se, e somente se, x é ortogonal (ou perpendicular) a cada um dos vetores linha de A (porque quando o produto escalar de dois vetores é igual a zero, eles são, por definição, ortogonais).
O espaço linha, ou coimagem, de uma matriz A é o espaço gerado pelos vetores linha de A. Pelo raciocínio acima, o núcleo de A é o complemento ortogonal para o espaço linha, ou seja, um vetor x está no núcleo de A se, e somente se, ele é perpendicular a cada vetor no espaço linha de A.
A dimensão do espaço linha de A é chamada de posto de A e a dimensão do núcleo de A é chamada de nulidade de A. Estas grandezas estão relacionadas pelo teorema do posto e da nulidade:
Espaço nulo à esquerda O espaço nulo à esquerda, ou conúcleo, de uma matriz A consiste de todos os vetores x tais que xTA = 0T, em que T denota a transposição de um vetor coluna. O espaço nulo à esquerda de A é o mesmo que o núcleo de AT. O espaço nulo à esquerda de A é o complemento ortogonal do espaço de coluna de A, e é dual do conúcleo da transformação linear associada. O núcleo, o espaço linha, o espaço coluna, e o espaço nulo à esquerda de A são os quatro subespaços fundamentais associados à matriz A.
Sistemas de equações lineares não homogêneas O núcleo também desempenha um papel na solução de um sistema linear não homogêneo:
Se u e v são duas soluções possíveis da equação acima, então,
Assim, a diferença entre duas soluções da equação Ax = b pertence ao núcleo de A.
Disto resulta que qualquer solução da equação Ax = b pode ser expressa como a soma de uma soluço fixa v e um elemento arbitrário do núcleo, isto é, o conjunto solução para a equação Ax = b é
Geometricamente, isto diz que o conjunto solução de Ax = b é a translação do núcleo de A pelo vetor v. Ver também a alternativa de Fredholm e flat (geometria).
Ilustração Nesta seção, é exemplificado o processo para determinar o núcleo de uma matriz (ver a seção sobre o Cálculo por eliminação gaussiana abaixo para métodos mais adequados para cálculos mais complexos). Também é mencionado o espaço linha e a sua relação com o núcleo.
Considere a matriz
O núcleo desta matriz consiste de todos os vetores (x, y, z) ∈ R3 para os quais
o que pode ser expresso como um sistema de equações lineares homogêneas envolvendo x, y, e z:
o que pode ser escrito em forma de matriz, como:
A eliminação de Gauss–Jordan reduz esta matriz a:
Reescrevendo, obtém-se:
Agora podemos expressar um elemento do núcleo:
em que c é um escalar.
Como c é uma variável livre, a solução também pode ser expressa como
O núcleo de A é, precisamente, o conjunto de soluções para estas equações (neste caso, uma reta que passa pela origem em R3); o vetor (-1,-26,16)T constitui uma base do núcleo de A. Assim, a nulidade de A é igual a 1.
Note também que os seguintes produtos escalares são nulos:
o que ilustra que os vetores no núcleo de A são ortogonais a cada um dos vetores linha de A.
Esses dois vetores linha (linearmente independentes) geram o espaço linha de A, um plano ortogonal ao vetor (-1,-26,16)T.
Com o posto de A sendo 2, a nulidade de A sendo 1, e a dimensão de A sendo 3, tem-se a ilustração do teorema do posto e da nulidade.
Exemplos
Se L: Rm → Rn, então o núcleo de L é o conjunto solução de um sistema de equações lineares homogêneas. Como na ilustração acima, se L é o operador:
então o núcleo de L é o conjunto de soluções das equações
Seja C[0,1] o espaço vetorial de todas as funções contínuas do intervalo [0,1] a valores reais, e defina L: C[0,1] → R pela regra
Então o núcleo de L consiste de todas as funções f ∈ C[0,1] para as quais f(0.3) = 0.
Deixe C∞(R) o espaço vetorial de todas as funções R → R infinitamente diferenciáveis, e seja D: C∞(R) → C∞(R) o operador diferencial:
Então o núcleo de D consiste de todas as funções em C∞(R) cujas derivadas são nulas, ou seja, o conjunto de todas funções constantes.
Seja R∞ o produto direto de um número infinito de cópias de R, e seja s: R∞ → R∞ o operador shift
Então o núcleo de s é o subespaço unidimensional que consiste de todos os vetores (x1, 0, 0, ...).
Se V é um espaço com produto interno e W é um subespaço, o núcleo da projeção ortogonal de V → W é o complemento ortogonal de W em V.
Cálculo por eliminação gaussiana Uma base do núcleo de uma matriz pode ser calculada por meio da eliminação de Gauss.
Para este efeito, dada uma matriz A de ordem m × n, pode-se construir a matriz aumentada por linhas em que é a matriz identidade de ordem n × n.
Calculando-se sua forma escalonada reduzida por colunas através da eliminação de Gauss (ou qualquer outro método apropriado), obtém-se uma matriz Uma base do núcleo de A consiste nas colunas não-nulas de C tais que a coluna correspondente de B é uma coluna nula.
Na verdade, o cálculo também pode ser interrompido assim que a matriz superior estiver na forma escalonada por colunas: o restante do cálculo consiste em alterar a base do espaço vetorial gerado pelas colunas cuja parte superior é zero.
Por exemplo, suponha que
Então
Colocando-se a parte superior na forma escalonada por colunas por meio de operações sobre as colunas de toda a matriz resulta que
As três últimas colunas de B são nulas. Portanto, os três últimos vetores de C,
formam uma base do núcleo de A.
A demonstração de que o método fornece o núcleo é a seguinte: Como as operações sobre as colunas correspondem a multiplicação à direita por matrizes invertíveis, o fato de que se reduz a significa que existe uma matriz invertível tal que com na forma escalonada por colunas. Assim, e consequentemente Um vetor coluna pertence ao núcleo de (ou seja, ) se, e somente se, onde Como está na forma escalonada por colunas, se, e somente se, as entradas de diferentes de zero correspondem às colunas nulas de Multiplicando por pode-se deduzir que este é o caso se, e somente se, é uma combinação linear das colunas correspondentes de
Cálculo numérico O problema de calcular o núcleo em um computador depende da natureza dos coeficientes.
Coeficientes exatos Se os coeficientes da matriz são números exatos, a forma escalonada reduzida por colunas da matriz pode ser calculada pelo algoritmo de Bareiss mais eficientemente do que com a eliminação de Gauss. É ainda mais eficiente usar a aritmética modular e o teorema chinês do resto, que reduz o problema a vários similares sobre corpos finitos (isso evita a sobrecarga induzida pela não-linearidade da complexidade computacional da multiplicação de inteiros).
Para coeficientes em um corpo finito, a eliminação de Gauss funciona bem, mas para as matrizes grandes que ocorrem em criptografia e no cálculo de bases de Gröbner, são conhecidos algoritmos melhores, que têm aproximadamente a mesma complexidade computacional, mas são mais rápidos e comportar-se melhor no hardware de computadores modernos.
Cálculo em ponto flutuante Para matrizes cujas entradas são números de ponto flutuante, o problema de calcular o núcleo só faz sentido para matrizes em que o número de linhas é igual ao seu posto: devido aos erros de arredondamento, uma matriz de ponto flutuante quase sempre tem um posto cheio, mesmo quando é uma aproximação de uma matriz com um posto muito menor. Mesmo para uma matriz de posto cheio, só é possível calcular o seu núcleo se ela for bem condicionada, ou seja, se tem um número de condicionamento baixo.https://www.math.ohiou.edu/courses/math3600/lecture11.pdf
Mesmo para uma matriz de posto completo bem condicionada, a eliminação gaussiana não se comporta corretamente: ela introduz erros de arredondamento que são grandes demais para a obtenção de um resultado significativo. Como o cálculo do núcleo de uma matriz é um caso especial da solução de um sistema homogêneo de equações lineares, o núcleo pode ser calculado por qualquer um dos vários algoritmos projetados para resolver sistemas homogêneos. Um software do estado da arte para esta finalidade é a biblioteca Lapack.
Ver também
Núcleo (álgebra) Raiz (matemática) Sistema de equações lineares Espaços linha e coluna Eliminação de Gauss Espaço vetorial Subespaço vetorial Operador linear Espaço funcional Alternativa de Fredholm
Notas
Referências
Ligações externas
Gilbert Strang, Aula de Álgebra Linear do MIT Sobre Os Quatro Fundamental Subspaces no Google Vídeo, do MIT OpenCourseWare A Khan Academy, Introdução para o Espaço Nulo de uma Matriz
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