Em matemática, o grupo modular é o grupo linear especial projetivo de matrizes com coeficientes inteiros e determinante um. As matrizes e são identificadas. O grupo modular age na metade superior do plano complexo por meio de transformações fracionárias lineares, e o nome "grupo modular" vem da relação com espaços de módulos e não da aritmética modular.
Definição O grupo modular é o grupo das transformações fracionárias lineares da metade superior do plano complexo, que têm a forma
em que , , , são inteiros e . A operação do grupo é a composição de funções.
Este grupo de transformações é isomorfo ao grupo linear especial projetivo , que é o quociente do grupo linear especial bidimensional sobre os inteiros por seu centro . Em outras palavras, consiste em todas as matrizes
em que , , , são inteiros, , e pares de matrizes e são considerados idênticos. A operação do grupo é a multiplicação de matrizes usual.
Alguns autores definem o grupo modular como , e ainda outros definem o grupo modular como o grupo maior .
Algumas relações matemáticas requerem a consideração do grupo de matrizes com determinante mais ou menos um. ( é um subgrupo deste grupo.) Da mesma forma, é o grupo quociente . Uma matriz com determinante unitário é uma matriz simplética e, portanto, , o grupo simplético de matrizes .
Obtenção dos elementos Para encontrar elementos de explicitamente, há um truque que consiste em considerar dois inteiros coprimos , colocá-los na matriz
e resolver a equação determinante
Observe que a equação do determinante força que sejam coprimos, pois caso contrário haveria um fator de tal modo que , , consequentemente
não teria soluções inteiras. Por exemplo, se então a equação do determinante se torna
então tomando e obtém-se , consequentemente
é uma das matrizes. Então, usando a projeção, tais matrizes definem elementos em .
Propriedades da teoria dos números O determinante unitário de
implica que as frações , , , são todas irredutíveis, isto é, não têm fatores comuns (desde que os denominadores não sejam nulos, é claro). Mais geralmente, se é uma fração na forma irredutível, então
também é irredutível (novamente, desde que o denominador seja diferente de zero). Qualquer par de frações irredutíveis pode ser conectado dessa maneira; isto é, para qualquer par de frações irredutíveis e , existem elementos
de tal modo que
Elementos do grupo modular fornecem uma simetria no reticulado bidimensional. Sejam e dois números complexos cuja razão não é real. Então o conjunto de pontos
é um reticulado de paralelogramos no plano. Um par diferente de vetores e irá gerar exatamente a mesma rede se, e somente se,
para alguma matriz em . É por esta razão que as funções duplamente periódicas, como as funções elípticas, possuem uma simetria de grupo modular.
A ação do grupo modular sobre os números racionais pode ser mais facilmente compreendida visualizando-se uma grade quadrada, com o ponto da grade correspondendo à fração (ver pomar de Euclides). Uma fração irredutível é aquela que é visível a partir da origem; a ação do grupo modular sobre uma fração nunca leva uma visível (irredutível) a uma oculta (redutível), e vice-versa.
Observe que qualquer membro do grupo modular mapeia a reta real estendida projetivamente biunivocamente consigo mesma e, além disso, mapeia bijetivamente a reta racional estendida projetivamente (os racionais com o infinito) consigo mesma, os irracionais com os irracionais, os números transcendentes com os números transcendentais, os números não reais com os números não reais, o semiplano superior com o semiplano superior, etc.
Se e são dois convergentes sucessivos de uma fração contínua, então a matriz
pertence a . Em particular, se para inteiros positivos , , , com e então e serão vizinhos na sequência de Farey de ordem . Casos especiais importantes de convergentes de frações contínuas incluem os números de Fibonacci e as soluções para a equação de Pell. Em ambos os casos, os números podem ser organizados para formar um semigrupo que é subconjunto do grupo modular.
Propriedades da teoria de grupos
Apresentação Pode-se mostrar que o grupo modular pode ser gerado pelas duas transformações
de modo que todo elemento do grupo modular pode ser representado (de forma não única) pela composição de potências de e . Geometricamente, representa a inversão no círculo unitário seguida pela reflexão em relação ao eixo imaginário, enquanto representa uma translação de uma unidade para a direita.
Os geradores e obedecem às relações e . Pode-se mostrar que estes são um conjunto completo de relações, portanto o grupo modular tem a presentação:
Esta presentação descreve o grupo modular como o grupo triangular rotacional (infinito, pois não há relação em ) e, portanto, pode ser mapeado sobre cada grupo triângular adicionando a relação , que ocorre, por exemplo, no subgrupo de congruência .
Usando os geradores e em vez de e , mostra-se que o grupo modular é isomorfo ao produto livre dos grupos cíclicos e :
Grupo de trança miniaturadaimagem|376x376px| O grupo de trança é a extensão central universal do grupo modular O grupo de tranças é a extensão central universal do grupo modular, com estes sendo reticulados dentro do grupo de cobertura universal (topológico) . Além disso, o grupo modular tem um centro trivial e, portanto, o grupo modular é isomorfo ao grupo quociente de por seu centro; equivalentemente, ao grupo de automorfismos internos de .
O grupo de tranças por sua vez, é isomorfo ao grupo de nós do nó trifólio.
Quocientes Os quocientes por subgrupos de congruência são de interesse significativo.
Outros quocientes importantes são os grupos triangulares , que correspondem geometricamente a descer em um cilindro, quocientando a coordenada módulo , como . O grupo triangular é o grupo de simetria icosaédrica, e o grupo triangular (e os ladrilhos associados) é a cobertura para todas as superfícies de Hurwitz.
Apresentação como um grupo matricial O grupo pode ser gerado pelas duas matrizes
como
A projeção transforma essas matrizes em geradores de , com relações semelhantes às da presentação do grupo.
Relação com a geometria hiperbólica
O grupo modular é importante porque forma um subgrupo do grupo das isometrias do plano hiperbólico. Se considerarmos o modelo de meio plano superior da geometria plana hiperbólica, então o grupo de todas isometrias que preservam a orientação de consiste em todas as transformações de Möbius da forma
em que , , , são inteiros, em vez dos números reais usuais, e . Em termos de coordenadas projetivas, o grupo age sobre o semiplano superior por projetividade:
Esta ação é fiel. Uma vez que é um subgrupo de , o grupo modular é um subgrupo do grupo de isometrias que preservam a orientação de .
Tesselação do plano hiperbólico direita|miniaturadaimagem|400x400px| Um domínio fundamental típico para a ação de sobre o semiplano superior O grupo modular age sobre como um subgrupo discreto de , ou seja, para cada em podemos encontrar uma vizinhança de que não contém nenhum outro elemento da órbita de . Isso também significa que podemos construir domínios fundamentais, que (aproximadamente) contêm exatamente um representante da órbita de cada em (É necessário cuidado com a fronteira do domínio.)
Existem muitas maneiras de construir um domínio fundamental, mas uma escolha comum é a região
delimitada pelas retas verticais e , e a circunferência . Esta região é um triângulo hiperbólico. Ela tem vértices em e , onde o ângulo entre as arestas é , e um terceiro vértice no infinito, onde o ângulo entre suas arestas é 0.
A transformação desta região pelos elementos do grupo modular, dá origem a uma tesselação regular do plano hiperbólico por triângulos hiperbólicos congruentes conhecida como mosaico triangular de ordem infinita V6.6.∞. Observe que cada um destes triângulos tem um vértice no infinito ou no eixo real . Esse mosaico pode ser estendido ao disco de Poincaré, onde cada triângulo hiperbólico tem um vértice na fronteira do disco. O mosaico do disco de Poincaré é dado de forma natural pelo -invariante, que é invariante sob o grupo modular, e atinge todos os números complexos uma vez em cada triângulo dessas regiões.
Este mosaico pode ser ligeiramente refinado, dividindo cada região em duas metades (convencionalmente coloridas em preto e branco), adicionando uma transformação que inverte a orientação; então as cores correspondem à orientação do domínio. Adicionando e tomando a metade direita da região (onde ) obtém-se a tesselação usual. Este mosaico aparece pela primeira vez publicado em , onde é creditado a Richard Dedekind, em referência a . miniaturadaimagem| Visualização da transformação transformando os mosaicos associados. A transformação de grupos (do grupo modular para o grupo triangular) pode ser visualizada em termos desse mosaico (produzindo um mosaico na curva modular), conforme representado no vídeo à direita.
Subgrupos de congruência
Alguns subgrupos importantes do grupo modular , chamados subgrupos de congruência, são dados impondo relações de congruência nas matrizes associadas.
Existe um homomorfismo natural dado pela redução das entradas módulo . Isso induz um homomorfismo no grupo modular . O núcleo desse homomorfismo é chamado de subgrupo de congruência principal de nível , denotado por . Tem-se a seguinte sequência exata curta:
.
Sendo o núcleo de um homomorfismo, é um subgrupo normal do grupo modular . O grupo é dado como o conjunto de todas as transformações modulares
em que e .
É fácil mostrar que o traço de uma matriz que representa um elemento de não pode ser -1, 0 ou 1, portanto, esses subgrupos são grupos livres de torção. (Existem outros subgrupos sem torção.)
O subgrupo principal de congruência de nível 2, , também é chamado de grupo modular . Visto que é isomorfo a , é um subgrupo do índice 6. O grupo consiste de todas as transformações modulares em que e são ímpares e e são pares.
Outra família importante de subgrupos de congruência é o grupo modular grupo modular definido como o conjunto de todas as transformações modulares para as quais , ou equivalentemente, como o subgrupo cujas matrizes tornam-se triangulares superiores após a redução módulo . Observe que é um subgrupo de . As curvas modulares associadas a esses grupos são um aspecto do monstrous moonshine - para um número primo , a curva modular do normalizador é gênero zero se, e somente se, divide a ordem do grupo monstro, ou equivalentemente, se é um primo supersingular.
Monoide diádico Um subconjunto importante do grupo modular é o monoide diádico, que é o monoide de todas as strings da forma para inteiros positivos . Este monoide ocorre naturalmente no estudo das curvas fractais e descreve as simetrias de autossimilaridade da função de Cantor, da função ponto de interrogação de Minkowski e do floco de neve de Koch, cada uma sendo um caso especial da curva de de Rham geral. O monoide também tem representações lineares de dimensões superiores; por exemplo, a representação pode ser entendida para descrever a autossimetria da curva de manjar branco.
Aplicações do toro O grupo consiste das transformações lineares que preservam o reticulado padrão , e são as transformações que preservam a orientação e que preservam este reticulado; elas, portanto, se traduzem em auto-homeomorfismos do toro (SL sendo mapeado para transformações que preservam a orientação), e de fato correspondem isomorficamente ao grupo (estendido) de classes de aplicações do toro, o que significa que todo auto-homeomorfismo do toro é isotópico a uma aplicação desta forma. As propriedades algébricas de uma matriz como elemento de correspondem à dinâmica da aplicação induzida no toro.
Grupos de Hecke O grupo modular pode ser generalizado para os grupos de Hecke, nomeados em homenagem a Erich Hecke e definido como segue.
O grupo de Hecke com , é o grupo discreto gerado por
em que . Para pequenos valores de , tem-se: