Em matemática, o teste da condensação de Cauchy é um teste padrão de convergência para séries infinitas. Seja uma seqüência não-negativa e monotonicamente decrescente de números reais, então a série converge se e somente se a "série condensada" converge. Ademais, se essas séries convergem, a soma da série condensada não é maior do que .
Este teste é bastante técnico, assim como o teste de convergência de Abel, e seu principal objetivo é mostrar a convergência das p-séries quando .
Estimativas e demonstração
O teste da condensação de Cauchy segue das seguintes estimativas:
as quais devem ser entendidas como desigualdades nos números reais estendidos.
Para se chegar a primeira desigualdade os termos são reassociados em grupos com número de elementos sendo potências de dois, e depois, em cada grupo, substitui-se seus termos pelo primeiro - que é o maior deles -, já que eles formam uma seqüência não-crescente.
Para se chegar a segunda desigualdade, os termos da série são novamente reassociadas em grupos com número de elementos sendo potências de dois, onde em cada grupo é tomada, novamente, uma substituição por um termo maior na série não-crescente .
Teorema 1 A série converge se e diverge se .
Demonstração Se a série claramente diverge, já que . Se , aplicando o teste da condensação, temos:
.
Temos se e somente se , ou seja, . O resultado segue da convergência da série série geométrica, fazendo .
Teorema 2 Se então a série converge. Se então a série diverge.
Demonstração A monotonocidade da função logarítmica implica que é crescente. Sendo assim, é decrescente, e o teste da condensação pode ser aplicado.
e o resultado segue do teorema anterior.
Ligações externas Cauchy condensation test proof
Categoria:Teoremas de matemática