Em matemática, matriz congruente é uma relação de equivalência no conjuntos das matrizes reais quadradas. Duas matriz e são congruentes, se existe uma matriz invertível , do mesmo tipo, tal que .CALLIOLI, C.A.; Álgebra linear e aplicações, ed. 6, 1990.LIPSCHUTZ, S.; Lipson, M.; Álgebra linear, Coleção Schaum, Bookman, 2011.

Definição Uma matriz real quadrada é congruente à matriz real quadrada quando existe uma matriz invertível tal que .

Observamos que esta definição exige que seja uma matriz quadrada de mesma ordem de e .

Relação de equivalência A relação de congruência define uma relação de equivalência no conjunto das matrizes reais quadradas , i.e.: (reflexividade) toda matriz é congruente a si mesma; (simetria) se é congruente a , então é congruente a ; (transitividade) se é congruente a e é congruente a , então é congruente a .

Da relação de simetria, vemos que está bem definido dizer que duas matrizes são congruentes (como exposto na introdução).

Demonstração Basta observar que , onde é a matriz identidade em . Se é congruente a , então, por definição, existe invertível tal que . Escolhendo , vemos que , i.e. é congruente a . Se é congruente a e é congruente a , então existem tais que e . Mas, então, temos , i.e. é congruente a .

Aplicações

Matrizes de uma forma bilinear

Seja uma forma bilinear, onde é um espaço euclidiano de dimensão finita . Seja, ainda, e duas bases para . Então, são congruentes as matrizes e da forma bilinear nas bases e , respectivamente.

Demonstração

Sejam e suas representações nas bases e :

.

Seja, agora, a matriz de mudança da base para a base , i.e.:

onde, e notação análoga para , e .

Além disso, temos:

e

donde, . O que, por sua vez, implica: . Como os vetores e são arbitrários, temos , i.e., e são matrizes congruentes. Isso completa a prova.

Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis Se a matriz é ortogonalmente diagonalizável, então existe uma matriz diagonal congruente a .

Demonstração

Com efeito, uma matriz é ortogonalmente diagonalizável se, e somente se, existe uma matriz diagonal tal que:

onde, é uma matriz ortogonal, i.e. . Isto é dizer, , o que conclui a demonstração.

Ver também Matriz semelhante Matriz diagonalizável

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