Em análise matemática, uma série dupla é uma série cujo índice pertence a , isto é, dois números naturais.

Notação Denotamos a soma parcial por definida como

Quando existe um número S tal que para todo , existe tal que se , dizemos que é a série dupla de .

Também é possível expressar essa ideia pelo limite duplo . Devemos, contudo, atentar para o fato de que não é imediato o fato de que , já que esse limite duplo pode não existir.

A série dupla é então denotad como

Aliás, como , segue que, se converge, é possível encontrar tal que se , o que não implica se e tendem a separadamente. Para mais informações, veja os exemplos que serão apresentados na próxima seção.

Convergência de uma série dupla A condição geral da convergência de uma Série Dupla é, tomando a sequência de somas parciais, o critério de Cauchy para sequências duplas, ou seja, uma série dupla converge se e somente se , quando e .

Imediata.

Seja o valor de quando , de modo que o retângulo usado para a soma se torne um quadrado. Podemos tomar a subsequência e, segundo o critério de Cauchy para sequências simples, temos quando .

Como se aproxima de um limite , podemos encontrar tal que se .

A condição geral nos leva, então, a , se .

Sendo, ainda , segue se . Ou seja, a série dupla converge.

EXEMPLOS

Convergência:

Divergência:

Oscilação:

Troca dos operadores de somatório

Somas por Linha e por Coluna As somas de uma série dupla podem ser definidas pela soma dos elementos dentro de retângulos , conforme mencionado anteriormente, mas também pode ser definida por Séries Iteradas correspondentes ao somatório das somas das linhas e das colunas, como segue.

Soma por linhas: Tome primeiro a soma dos elementos das linhas de uma série, denotada por e, então, proceda com o somatório das somas das linhas, ou seja . Ou seja, a Soma por linhas é dada por

De modo análogo,

Soma por colunas: dada por

Se lidamos com um número finito de termos, é evidente que

O mesmo não é necessariamente verdade se lidamos com um número infinito de termos, ou seja, não é necessariamente verdade que

e isso se dá pelo fato de que os limites iterados não necessariamente são iguais, o que implica, no caso das séries, a oscilação da soma por linhas ou colunas.

EXEMPLO

Seja

Oras, existe e é dado por .

Mas e .

Teorema de Pringsheim Um teorema que dá conta dos casos em que é possível proceder com a troca dos operadores de limites no infinito em Séries Duplas é o teorema de Pringsheim, que dita que:

Se as somas linha e coluna de uma série convergem e a série dupla também converge, então a expressão é válida.

Temos que se , de modo que . Oras, por hipótese o limite simples existe. Segue, então, que .

A outra metade é análoga.

Observações

(1) Quando a série dupla não converge, então não é necessariamente válido.

EXEMPLO

Seja , temos e . Do teorema de Pringsheim, a série obviamente não converge.

(2) A verdade de também não implica, por si só, na convergência da série dupla.

EXEMPLO

Seja

Temos , mas a série dupla não converge. Para verificar isso, basta ver que se tomarmos e tendendo de formas diferentes ao infinito, a soma leva a números diferentes. Por exemplo, tome , e se , . Referências

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