Em matemática, o teorema fundamental da álgebra, também chamado teorema de d'Alembert-Gauss e teorema de d'Alembert, indica que todo o polinômio não constante, com coeficientes complexos, admite pelo menos uma raiz. Por conseguinte, todo o polinômio com coeficientes inteiros, racionais ou ainda reais admite pelo menos uma raiz complexa, uma vez que estes números são também complexos. Uma vez este resultado estabelecido, torna-se simples mostrar que sobre , o corpo dos números complexos, todo o polinômio é cindido, ou seja, constante ou produto de polinômios de grau 1.

O tempo tornou a expressão teorema fundamental da álgebra um pouco paradoxal. Não existe, de fato, nenhuma demonstração puramente algébrica deste teorema. É necessário fazer uso de resultados topológicos ou analíticos para a sua demonstração. A expressão provém de uma época em que a álgebra se identificava essencialmente com a teoria das equações, ou seja, a resolução das equações polinomiais. As fronteiras da álgebra mudaram desde então, mas o nome do teorema permaneceu.

As consequências do teorema são numerosas; em álgebra linear, este resultado é essencial para a redução de endomorfismos; em análise, intervém na decomposição em frações parciais das funções racionais utilizada para encontrar uma primitiva. Encontram-se também na teoria algébrica dos números, num resultado básico que indica que toda a extensão algébrica do corpo dos racionais pode ser considerada como um subcorpo do dos complexos.

miniatura|Jean le Rond d'Alembert foi o primeiro a sentir a necessidade de demonstrar o teorema fundamental da álgebra. A sua motivação era inteiramente analítica, procurando um método para encontrar a primitiva de uma função racional. A sua prova continha uma lacuna, que só seria preenchida no século XIX.

A história do teorema indica a importância do resultado aos olhos dos matemáticos do século XVIII. Os maiores nomes, como os de d'Alembert, Euler, Lagrange ou Gauss, dedicaram-se à sua demonstração, com sortes diversas. A variedade e a riqueza dos métodos concebidos para este fim foram um poderoso motor para a evolução da investigação em matemática e, particularmente, para uma melhor compreensão dos números complexos.

Enunciados O teorema fundamental da álgebra admite vários enunciados equivalentesBayart, V. F. "Théorème de D'Alembert-Gauss" no site bibmath.net: se o enunciado for conforme ao que se encontra na literatura, as observações históricas são contraditadas, por exemplo, por Dahan e Peiffer 1986..Teorema de d'Alembert-Gauss: Todo o polinômio não constante, com coeficientes complexos, admite pelo menos uma raiz complexa.Por exemplo, é uma raiz do polinômio . Sob esta forma, o teorema afirma a existência de uma raiz do polinômio , mas não explica como encontrar explicitamente esta raiz. Este enunciado existencial descreve mais uma propriedade do corpo dos números complexos. Um corpo diz-se algebricamente fechado se todo o polinômio de grau estritamente positivo e com coeficientes nesse corpo admite pelo menos uma raiz nesse corpo. O teorema reformula-se, portanto, assim:(i) O corpo é algebricamente fechado.Este resultado reformula-se também em termos de fatoração de polinômios com coeficientes complexos:(ii) Todo o polinômio com coeficientes complexos é cindido (fatora-se completamente em fatores lineares)Encontra-se este corolário em: Antonini, C. et al., "Résultats liés à la compacité" no site mathématiques.net..Estes resultados indicam que um polinômio com coeficientes complexos de grau , que se pode escrever , escreve-se também . Aqui, a família , para variando de 1 a , é a das raízes. Alguns números podem ser iguais; fala-se então de raízes múltiplas.

O teorema fundamental da álgebra equivale a cada um dos seguintes enunciados:(iii) Todo o polinômio não constante com coeficientes reais admite pelo menos uma raiz complexa.(iv) Os polinômios irredutíveis com coeficientes reais são exatamente os polinômios de grau 1, e os polinômios de grau 2 com discriminante estritamente negativo (escrevendo-se , com não nulo e ).(v) Todo o polinômio não constante com coeficientes reais escreve-se como um produto de polinômios com coeficientes reais de graus 1 ou 2.Demonstração das equivalências:

(i) ⇒ (ii): Demonstra-se (ii) por indução sobre , o grau de um polinômio, a partir de (i). Se for igual a 0, não há nada a demonstrar. Supõe-se o resultado estabelecido para todo o polinômio de grau e seja um polinômio de grau . (i) implica a existência de uma raiz α de P. O polinômio escreve-se então com de grau , logo cindido por hipótese de indução, de modo que é igualmente cindido, pelo que (ii) está demonstrado.

(ii) ⇒ (v): Segundo (ii), todo o polinômio com coeficientes reais é cindido sobre . Se é uma raiz complexa (não real) de , o seu conjugado também o é, com a mesma ordem de multiplicidade, e tem coeficientes reais. Obtém-se, portanto, (v) agrupando os termos para cada raiz complexa.

(v) ⇒ (iv): Segundo (v), se é irredutível, só pode ser de grau 1 ou 2. Se for de grau 1, é de fato irredutível. Se for de grau 2, é irredutível (sobre ) se, e só se, o seu discriminante for estritamente negativo.

(iv) ⇒ (iii): Um polinômio não constante com coeficientes reais admite pelo menos um divisor irredutível sobre . Um tal é, segundo (iv), de grau 1 ou 2, e admite, portanto, uma raiz complexa, que é então também raiz de .

(iii) ⇒ (i): Seja um polinômio com coeficientes complexos, e o polinômio obtido substituindo cada coeficiente de pelo seu conjugado. Então tem coeficientes reais. Segundo (iii), admite uma raiz complexa , logo . Logo, se não é uma raiz de , então , o que dá . Portanto, ou o seu conjugado é uma raiz de , o que prova (i).

Usos Análise

Por vezes, afigura-se necessário calcular uma primitiva de uma função racional, ou seja, de uma função quociente de duas funções polinomiais. Pode-se considerar a função definida porEste exemplo foi retirado de: Décomposition en éléments simples d'une fonction rationnelle, pelo site Homéomath.:

Um corolário do teorema fundamental indica que o denominador se fatora em elementos do primeiro grauNa realidade, este método apenas permite obter diretamente primitivas em ℂ; para primitivas reais, a fatorização pode fazer aparecer igualmente trinômios do segundo grau com discriminante negativo, conduzindo a frações parciais de segunda espécie, integráveis com o auxílio da função arco-tangente.; aqui encontra-se:

Uma decomposição em frações parciais da função mostra a existência de três valores e tais que:

Um cálculo rápido mostra que e ; o cálculo da primitiva torna-se então facilmente realizável.

Álgebra linear

A redução de endomorfismos recorre aos polinômios. Pode-se escolher como caso particular um endomorfismo autoadjunto de um espaço euclidiano para ilustrar o uso do teorema. A sua matriz numa base ortonormada é, portanto, simétrica e todos os seus valores próprios (autovalores) são reais. O polinômio característico de admite, segundo o teorema fundamental da álgebra, uma raiz . Trata-se de um valor próprio de . Notando que o espaço ortogonal ao subespaço próprio associado ao valor próprio é estável por , compreende-se que o endomorfismo é diagonalizável. De fato, basta aplicar agora a mesma redução à restrição de a , que também é autoadjunta. Passo a passo, o endomorfismo é assim diagonalizado.

Este exemplo foi escolhido entre muitos outros. A diagonalização de um endomorfismo surge frequentemente como consequência da existência de uma raiz do polinômio característico ou mínimo.

Aritmética Um dos objetos da teoria algébrica dos números tradicional é o estudo dos corpos de números, ou seja, das extensões finitas do corpo dos racionais. Todos estes corpos são algébricos sobre , logo mergulham no seu fecho algébrico, o corpo dos números algébricos. Segundo o teorema fundamental da álgebra, mergulha ele próprio em . Demonstrações Demonstração direta A demonstração aqui apresentada detalha a de CauchyKörner, T. W. "On the Fundamental Theorem of Algebra". American Mathematical Monthly, vol. 113, 2006, pp. 347-348..

Consideremos um polinômio de grau com coeficientes complexos, .

Num primeiro momento, estabelece-se a existência de um mínimo global para a função que a associa o módulo de . Para isso, nota-se queBastaria notar que admite no infinito um limite estritamente superior ao seu ínfimo: ver, por exemplo, este exercício resolvido no Wikilivros. se o módulo de for suficientemente grande, o módulo de também o é, e portanto o conjunto dos para os quais não é demasiado grande é necessariamente limitado. De seguida, utiliza-se o fato de que todo fechado limitado de ℂ é compacto e que uma função contínua de um compacto em ℝ tem uma imagem ela própria compacta, logo fechada e limitada, o que implica que a função atinge o seu ínfimo, num certo ponto .

Por fim, raciocina-se por absurdo: supõe-se que a imagem de por é não nula. Encontra-se, pelo desenvolvimento de Taylor do polinômio em torno de , uma "direção" (um número complexo não nulo) tal que a função de em que a associa o módulo de seja, para todo o suficientemente pequeno, estritamente inferior ao seu valor em . Esta contradição permite concluir.

Esta prova baseia-se, portanto, essencialmente no fato de possuir a propriedade do supremo.

Demonstração detalhada:

Mostremos primeiro um lema, que corresponde a um caso muito particular de equação polinomial.

Para todo o inteiro , todo o número complexo tem pelo menos uma raiz n-ésima em Uma variante sofisticada da prova de Cauchy, proposta por Littlewood em 1941, permite evitar o recurso a este lema. Está descrita no artigo "Raiz de um número complexo". Ver também: Rio Branco de Oliveira, O. "The Fundamental Theorem of Algebra: From the Four Basic Operations". American Mathematical Monthly, vol. 119, nº 9, 2012, pp. 753-758. :

Escrevendo um número complexo sob forma polarVer o artigo "Número complexo" para mais pormenores.e depois colocando,obtém-se, segundo a fórmula de De Moivre:.Estudemos agora o caso geral.

Existe um ponto no qual o mínimo do módulo de é atingido:

A função que a associa o módulo de assume valores nos reais positivos. A imagem desta função é uma parte não vazia e minorada de ; admite, portanto, um ínfimo, notado aqui . Quando tende para o infinito, o módulo de , equivalente a , tende para o infinito. É, portanto, superior a assim que é suficientemente grande, digamos maior do que um certo valorPode-se mesmo explicitar, em função de m e dos ak, um valor de M conveniente: ver por exemplo Bogomolny, A. "Details of the proof by Cauchy" em Cut The Knot ou "Proof of fundamental theorem of algebra (due to Cauchy)" no PlanetMath. . Isto mostra que é também o ínfimo de sobre os complexos de módulo inferior a . Estes formam um compacto; sendo a função sobre este compacto contínua, ela atinge o seu ínfimo , o que demonstra a proposição.

Existe, portanto, um complexo tal que . Notemos o polinômio . É um polinômio do mesmo grau que , e cujo módulo toma no ponto o seu valor mínimo . Introduzem-se notações para os seus coeficientes:.Aqui, designa o menor índice estritamente positivo tal que o coeficiente seja não nulo. Este índice existe, pois o polinômio não é constante.

O lema permite estabelecer a proposição seguinte, que conclui a demonstração.

O mínimo é nulo:

Notemos uma raiz -ésima (existem, segundo o lema) do complexo . Assim, . Seja a função que a todo o real associa o real . Escreve-se:o que mostra que,onde designa a soma dos módulos dos .

Se não fosse nulo, escolhendo, no intervalo precedente, um real , ter-se-ia então , o que contradiria a definição de (mínimo de ). Logo e é uma raiz de , o que termina a demonstração.

Pelo teorema de Liouville