right|thumb|Uma elipse (azul) e sua evoluta (verde).

|right|thumb|A evoluta de uma curva (neste caso, uma elipse) é o envelope de suas normais.

Na geometria diferencial de curvas, a evoluta de uma curva é o lugar geométrico de todos suas circunferências osculatrizes (centros de curvatura).Isso significa que, quando o centro de curvatura de cada ponto de uma curva é desenhado, a forma resultante será a evoluta dessa curva. A evoluta de um círculo é, portanto, um único ponto em seu centro. Equivalente a isso, uma evoluta é o invólucro das normais a uma curva.

A evoluta de uma curva, uma superfície ou, mais geralmente, de uma subvariedade é a cáustica do mapa normal. Seja uma subvariedade regular e suave em . Para cada ponto em e cada vetor , baseado em e normal a , associamos o ponto . Isso define um mapa lagrangiano, chamado de mapa normal. A cáustica do mapa normal é a evoluta de .

As evolutas estão intimamente ligadas às involutas: uma curva é a evoluta de qualquer uma de suas involutas.

História Apollonius (Cerca de 200 a.C.) discutiu evolutas no Livro V de sua obra Cônicas. Contudo, Huygens é, por vezes, creditado como o primeiro a estudá-las (1673). Huygens formulou sua teoria das evolutas por volta de 1659 para ajudar a resolver o problema de encontrar a curva tautócrona, o que, por sua vez, o auxiliou na construção de um pêndulo isócrono. Isso ocorreu porque a curva tautócrona é uma cicloide, e a cicloide tem a propriedade única de que sua evoluta também é uma cicloide. A teoria das evolutas, na verdade, permitiu a Huygens alcançar muitos resultados que mais tarde seriam encontrados utilizando cálculo.

Evoluta de uma curva paramétrica Se é a representação paramétrica de uma curva regular no plano com curvatura diferente de 0 e seu raio de curvatura e a unidade normal apontando para o centro de curvatura, então

descreve a evoluta da curva dada.

Para e , obtém-se e

Propriedades da evoluta

Para derivar propriedades de uma curva regular, é vantajoso usar o comprimento do arco como parâmetro da curva dada, por conta de e (ver Fórmulas de Frenet–Serret). Assim, o vetor tangente da evoluta é:

A partir dessa equação, obtém-se as seguintes propriedades da evoluta: Em pontos com , a evoluta não é regular. Ou seja: em pontos de curvatura máxima ou mínima (vértices da curva dada), a evoluta possui cúspides. (Ver os diagramas das evolutas da parábola, da elipse, da cicloide e da nefroide.) Para qualquer arco da evoluta que não inclua uma cúspide, o comprimento do arco é igual à diferença entre os raios de curvatura nos pontos extremos. Esse fato leva a uma prova fácil do teorema de Tait–Kneser sobre aninhamento de círculos osculadores. As normais da curva dada em pontos de curvatura diferente de zero são tangentes à evoluta, e as normais da curva em pontos de curvatura zero são assíntotas da evoluta. Portanto: a evoluta é o invólucro das normais da curva dada. Em trechos da curva com ou , a curva é uma involuta de sua evoluta.

Evolutas de algumas curvas A evoluta de uma parábola é uma parábola semicúbica (ver acima), de uma elipse é uma asteroide não simétrica (ver acima), de uma linha é um ponto, de uma nefroide é uma nefroide (metade do tamanho, veja o diagrama), de uma astroide é uma astroide (duas vezes maior), de uma cardioide é uma cardioide (um terço do tamanho), de um círculo é o seu centro, de uma deltoide é uma deltoide (três vezes maior), de uma cicloide é uma cicloide congruente, de uma espiral logarítmica é a mesma espiral logarítmica, de uma tractriz é uma catenária.

Curva radial Uma curva com uma definição semelhante é a radial de uma dada curva. Para cada ponto na curva, tome o vetor do ponto até o centro de curvatura e o traduza para que comece na origem. Em seguida, o lugar geométrico dos pontos no final de tais vetores é chamado de radial da curva. A equação para a radial é obtida removendo-se os termos e da equação da evoluta. Isso produz:

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