A matemática da relatividade geral refere-se a várias estruturas matemáticas e técnicas que são utilizadas no estudo e formulação da teoria da relatividade geral (RG) de Albert Einstein. As principais ferramentas utilizadas nesta teoria geométrica da gravitação são campos tensoriais definidos sobre uma variedade Lorentziana representando espaço-tempo. Este artigo é uma descrição geral da matemática da RG.
O motivo da escolha de tensores O princípio de covariância geral afirma que as leis da física devem ter a mesma forma matemática em todos os referenciais e tal foi um dos princípios centrais no desenvolvimento da relatividade geral. O termo 'covariância geral' foi utilizado na formulação inicial da RG, mas agora é referido por muitos como covariância de difeomorfismo. Embora covariância de difeomorfismo não seja a característica definidora da RG,A característica definidora (ideia física central) da relatividade geral é que a matéria e a energia causam curvadatura da geometria do espaço-tempo ao redor. e permanecem controvérsias quanto ao seu estado presente na RG, a propriedade de invariância de leis físicas implicadas no princípio aliado ao fato de que a teoria é essencialmente de caráter geométrico (fazendo uso de geometrias que não são euclidianas) sugeriu que a RG fosse formulada usando a linguagem de tensores. Isto será discutido mais adiante.
Espaço-tempo como uma variedade A maioria das abordagens modernas para a matemática da RG começam com o conceito de uma variedade. Mais precisamente, a construção física básica que representa a gravitação — um espaço-tempo curvo — é modelada por uma variedade Lorentziana de quatro dimensões, derivável (“suave”) e conectada. Outros descritores físicos são representados por vários tensores, discutidos abaixo.
A justificativa para a escolha de uma variedade como a estrutura matemática fundamental é refletir propriedades físicas desejáveis. Por exemplo, na teoria das variedades, cada ponto está contido em uma (não significando exclusiva) carta de coordenadas, e este gráfico pode ser considerado como representando o 'espaço-tempo local' em torno do observador (representado pelo ponto). O princípio da covariância de Lorentz local, que afirma que as leis da relatividade especial mantém-se localmente sobre cada ponto do espaço-tempo, presta um apoio adicional para a escolha de uma estrutura de variedade para representar o espaço-tempo, como localmente em torno de um ponto em uma variedade geral, a região “parece", ou se aproxima muito de um espaço de Minkowski (espaço-tempo plano).
A ideia de coordenar gráficos como "observadores locais que podem realizar medições na sua vizinhança” também faz sentido físico, dado que este é realmente como um coletor de dados físicos — localmente. Para problemas cosmológicos, um gráfico de coordenadas pode ser muito grande.
Estrutura local versus global Uma distinção importante na física é a diferença entre as estruturas locais e globais. Medidas em física são realizadas em uma região relativamente pequena do espaço-tempo e esta é uma razão para estudar a estrutura local do espaço-tempo na RG, ao passo que a determinação da estrutura do espaço-tempo global é importante, especialmente em problemas cosmológicos.
Um problema importante na RG geral é dizer quando dois espaços-tempos são "o mesmo", pelo menos localmente. Este problema tem suas raízes na teoria de variedades onde determinar se duas variedades de Riemann da mesma dimensão são localmente isométricas ('localmente a mesma'). Este último problema foi resolvido e sua adaptação para a RG é chamado o algoritmo de Cartan-Karlhede.
Tensores na relatividade geral Uma das consequências profundas da teoria da relatividade foi a abolição de sistemas de referências privilegiados. A descrição de fenômenos físicos não deve depender de quem faz a medição — um quadro de referência deve ser tão bom quanto qualquer outro. A relatividade especial demonstrou que nenhum referencial inercial era preferencial a qualquer outro referencial inercial, mas preferiu referenciais inerciais sobre quadros de referência não inerciais. A RG eliminou preferência por referenciais inerciais, mostrando que não há quadro de referência preferencial (só por inércia ou não) para descrever a natureza.
Qualquer observador pode fazer medições e as grandezas numéricas precisas obtidas dependem apenas do sistema de coordenadas usado. Isto sugeriu uma maneira de formular a relatividade usando "estruturas invariantes ', aquelas que são independentes do sistema de coordenadas (representadas pelo observador) usado, mas ainda tendo uma existência independente. A estrutura matemática mais adequado parecia ser um tensor. Por exemplo, quando se mede os campos elétricos e magnéticos produzidos por uma carga em aceleração, os valores dos campos dependerão do sistema de coordenadas utilizado, mas os campos são considerados como tendo uma existência independente, esta independência representada pelo tensor eletromagnético.
Matematicamente, tensores são operadores lineares generalizados — mapas multilineares. Como tal, as ideias de álgebra linear são empregadas para estudar tensores.
Em cada ponto de uma variedade, o espaço tangente e cotangente à variedade nesse ponto podem ser construídos. Vetores (por vezes referidos como vetores contravariantes) são definidos como elementos do espaço tangente e covetores (às vezes denominados vetores covariantes, mas mais comumente vetores duais ou “um-formas”) são elementos do espaço cotangente.
Em , estes dois espaços vetoriais podem ser utilizados para construir tensores do tipo , que são mapas multilineares de valor real que atuam sobre a soma direta de cópias do espaço cotangente com cópias do espaço tangente. O conjunto de todos estes mapas multilineares forma um espaço vetorial, chamado espaço produto tensor do tipo em e denotado por . Se o espaço tangente é n-dimensional, pode ser mostrado que .
Na literatura de RG, é convencional utilizar o componente sintaxe para tensores.
Um tensor do tipo pode ser escrito como:
Onde é uma base para o espaço tangente i-ésimo e uma base para o j-ésimo espaço cotangente.
Como o espaço-tempo é assumido como sendo de quatro dimensões, cada índice de um tensor pode ser um de quatro valores. Assim, o número total de elementos que um tensor possui é igual a 4R, onde R é a soma dos números de índices covariantes e contravariantes no tensor (um número chamado de classificação, rank, ou “posto” do tensor).
Tensores simétricos e antissimétricos Algumas grandezas físicas são representados por tensores, tendo não todas as quais os componentes independentes. Exemplos importantes destes tensores incluem tensores simétricos e antissimétricos. Tensores antissimétricos são comumente usados para representar rotações (por exemplo, o tensor vorticidade).
Embora um tensor de posto R genérico em 4 dimensões tenha 4R componentes, restrições sobre o tensor, como simetria ou antissimetria servem para reduzir o número de componentes distintos. Por exemplo, um posto dois simétrico satisfaz tensores e possui 10 componentes independentes, ao passo que um posto dois antissimétrico (inclinação simétrica) satisfaz tensores e tem 6 componentes independentes. Para postos superiores a dois, os pares de índices simétricos ou antissimétricos devem ser explicitamente identificados.
Tensores antissimétricos de posto 2 desempenham papéis importantes na teoria da relatividade. O conjunto de todos esses tensores — muitas vezes chamado de bivetores — forma um espaço vetorial de dimensão seis, às vezes chamado espaço bivetor.
Tensor métrico O tensor métrico é um objeto central na RG que descreve a geometria do espaço-tempo local (como um resultado da resolução das equações de campo de Einstein). Usando uma aproximação de campo gravitacional fraco, a métrica também pode ser considerada como representando o ‘potencial gravitacional’. O tensor métrico é muitas vezes chamado apenas de 'a métrica’.
A métrica é um tensor simétrico e é uma importante ferramenta matemática. Além de ser utilizada para tensores de índices mais altos e baixos, também gera as conexões que são utilizadas para construir as equações geodésicas de movimento e o tensor de curvatura de Riemann.
Um meio conveniente de expressar o tensor métrico em combinação com os intervalos de distâncias incrementais de coordenadas a que se refere, é através do elemento de linha:
Esta forma de expressar a métrica foi usada pelos pioneiros da geometria diferencial. Enquanto alguns relativistas consideram a notação ser um pouco antiquada, muitos alternam facilmente entre esta e a notação alternativa:
O tensor métrico é comumente escrito como uma matriz 4 por 4. Esta matriz é simétrica e, assim, tem 10 componentes independentes.
Invariantes Uma das características centrais da RG é a ideia de invariância de leis físicas. Este invariância pode ser descrita de muitas maneiras, por exemplo, em termos de covariâncias locais de Lorentz, o princípio geral da relatividade, ou covariância de difeomorfismo.
Uma descrição mais explícita pode ser dada usando tensores. A característica crucial dos tensores utilizados nesta abordagem é o fato de que (uma vez que uma métrica é dada) a operação de contrair um tensor de categoria R sobre todos os índices R dá um número — um invariante — que é independente da coordenada gráfica que é usada para efetuar a contração. Fisicamente, isso significa que se o invariante é calculado por quaisquer dois observadores, eles vão receber o mesmo número, o que sugere que o invariante tem algum significado independente. Alguns invariantes importantes na relatividade incluem:
o escalar de Ricci:
o escalar de Kretschmann:
Outros exemplos de invariantes em relatividade incluem os invariantes eletromagnéticos, e vários outros invariantes de curvatura, alguns desses encontrando aplicação no estudo de entropia gravitacional e a hipótese de curvatura de Weyl.
Classificação de tensores A classificação dos tensores é um problema puramente matemático. Em RG, no entanto, certos tensores que têm uma interpretação física podem ser classificados com as diferentes formas do tensor geralmente correspondentes a algo físico. Exemplos de classificações de tensores úteis na RG geral incluem a classificação de Segre do tensor de energia-momento e a classificação de Petrov do tensor de Weyl. Existem vários métodos de classificação desses tensores, alguns dos quais utilizam invariantes do tensor.M.J. Rebouças, J. Santos, A.F.F. Teixeira; Classification of energy momentum tensors in n > 5 dimensional space-times: a review; Braz. J. Phys. vol.34 no.2a São Paulo June 2004.Michiel Hazewinkel; Encyclopaedia of Mathematics: Supplement, Volume 2; Springer Science & Business Media, 2012. - pg 387.Ghanashyam Date; General Relativity: Basics and Beyond; CRC Press, 2014. pg 234.
Campos tensoriais na relatividade geral Campos tensoriais sobre uma variedade são mapas que atribuem um tensor para cada ponto da variedade. Esta noção pode ser tornada mais precisa através da introdução da ideia de um feixe de fibras, que, no presente contexto, significa coletar juntos todos os tensores em todos os pontos da variedade, assim, “agregando-os” todos em um grande objeto chamado feixe de tensores. Um campo tensorial é então definido como um mapa da variedade para o feixe tensorial, cada ponto p sendo associado com um tensor em p.
A noção de um campo tensorial é de grande importância na RG. Por exemplo, a geometria em torno de uma estrela é descrita por um tensor métrico em cada ponto, de modo que em cada ponto do espaço-tempo deve ser dado o valor da métrica para resolver os caminhos de partículas materiais. Outro exemplo são os valores dos campos elétricos e magnéticos (dado pelo tensor campo eletromagnético) e a métrica em cada ponto em torno de um buraco negro carregado para determinar o movimento de uma partícula carregada num tal campo.