miniatura|A maionese é um plástico de Bingham. A superfície apresenta sulcos e picos porque os plásticos de Bingham podem permanecer sem deformação de cisalhamento enquanto a tensão de cisalhamento estiver abaixo da tensão de escoamento. miniatura|A pasta de dente é um plástico de Bingham. Ao segurar o tubo virado para baixo o creme não flui, porque os plásticos de Bingham imitam sólidos sob baixas tensões de cisalhamento. Contudo, ao apertar o tubo, o creme flui como um fluido bastante viscoso devido à alta tensão cisalhante exercida. Na ciência dos materiais e na reologia, um plástico de Bingham, também chamado fluido de Bingham, é um material viscoplástico idealizado que não sofre deformação contínua de cisalhamento enquanto o módulo da tensão de cisalhamento não ultrapassa um valor crítico, a tensão de escoamento. Acima desse limiar, a tensão adicional é proporcional à taxa de cisalhamento. A região não escoada pode permanecer em repouso ou mover-se como um corpo rígido.
O modelo recebeu o nome de Eugene C. Bingham. Em 1916, Bingham encontrou em suspensões uma relação linear entre a vazão e a parcela da pressão aplicada acima de um valor limiar. A relação constitutiva unidimensional associada ao modelo foi apresentada por Bingham em 1922. É um dos modelos elementares para materiais com tensão de escoamento.
O modelo é usado para representar o escoamento de lamas de perfuração na engenharia de perfuração e no manuseio de suspensões. Um exemplo comum é o dentífrico, que não sai do tubo até que seja aplicada pressão suficiente. Depois que o limiar é superado, pode ser expelido como um tampão relativamente coeso.
História e terminologia Experimentos de Schwedoff com soluções de gelatina, publicados em 1900, já empregavam a ideia de uma tensão mínima para iniciar o escoamento. Bingham desenvolveu depois uma relação linear para o comportamento acima desse limiar. Parte da bibliografia do Leste Europeu usa a denominação "modelo de Bingham-Shvedov".
Explicação miniatura|esquerda|302px|Figura 1. Escoamento de um plástico de Bingham na representação de Bingham.
A Figura 1 mostra, em vermelho, o comportamento de um fluido viscoso comum, ou fluido newtoniano, em um tubo. O aumento da diferença de pressão entre as extremidades produz uma tensão que tende a movimentar o fluido. Em um fluido newtoniano, a vazão cresce a partir de diferenças de pressão arbitrariamente pequenas dentro do regime representado. Para o plástico de Bingham, mostrado em azul, não há escoamento macroscópico nesse exemplo até que seja ultrapassado um valor limiar. Acima dele, a vazão aumenta com a tensão aplicada. Bingham empregou uma representação desse tipo ao estudar tintas e outros materiais plásticos. Esse comportamento permite que materiais aproximados pelo modelo mantenham superfícies com picos e sulcos quando as tensões presentes são insuficientes para produzir escoamento.
miniatura|direita|302px|Figura 2. Representação usual do escoamento de um plástico de Bingham.
A Figura 2 apresenta a tensão de cisalhamento no eixo vertical e a taxa de cisalhamento no eixo horizontal. A taxa de cisalhamento mede localmente o gradiente de velocidade no material. A vazão volumétrica, por sua vez, é uma grandeza global e depende da geometria do escoamento. A relação entre vazão e taxa de cisalhamento depende dessa geometria.
Para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de cisalhamento e a reta passa pela origem. Sua inclinação, quando a tensão é representada no eixo vertical, é a viscosidade dinâmica. No modelo de Bingham, a taxa de cisalhamento permanece nula enquanto o módulo da tensão não supera a tensão de escoamento. Isso significa ausência de deformação local de cisalhamento, não necessariamente ausência de movimento. Uma região não escoada pode deslocar-se como um tampão rígido. Depois do escoamento, a inclinação da relação linear entre tensão e taxa de cisalhamento é chamada viscosidade plástica.
Em muitos materiais aproximados pelo modelo, interações entre partículas, gotículas ou macromoléculas produzem uma estrutura capaz de sustentar tensão durante o intervalo de observação. Quando a tensão aplicada supera determinado valor, essa estrutura pode se reorganizar e permitir o escoamento. O modelo de Bingham é fenomenológico e não pressupõe um único mecanismo microscópico para todos os materiais aos quais é aplicado.
Definição No cisalhamento simples, seja
a taxa de cisalhamento. A forma escalar do modelo de Bingham pode ser escrita como:
onde é a tensão de cisalhamento, é a tensão de escoamento, é a viscosidade plástica e é o sinal da tensão.
No ramo de tensões positivas, essa expressão reduz-se a:
A primeira forma deixa explícito que o critério de escoamento depende do módulo da tensão e vale também quando o sentido do cisalhamento é invertido.
Limitações do modelo O modelo de Bingham estabelece uma transição ideal entre um estado sem deformação contínua de cisalhamento e uma resposta linear acima da tensão de escoamento. Materiais reais podem apresentar fluência, envelhecimento, deslizamento junto às paredes e respostas transitórias que dificultam a determinação experimental de um valor único para essa tensão.
A interpretação de uma tensão de escoamento depende da faixa de taxas de deformação, do tempo de observação e do protocolo utilizado. Revisões experimentais posteriores tratam os fluidos simples com tensão de escoamento como uma classe útil de materiais, ao mesmo tempo que exigem cuidado na distinção entre o limiar constitutivo e efeitos dependentes do tempo ou do procedimento de medição. A relação linear de Bingham pode aproximar o comportamento de um material somente em determinada faixa de tensões ou taxas de cisalhamento.
Análise numérica A análise numérica de escoamentos de Bingham é estudada desde o início da década de 1970. A formulação por desigualdade variacional de Duvaut e Lions forneceu uma base matemática para métodos capazes de tratar regiões escoadas e não escoadas. Entre as abordagens usadas estão regularização, multiplicadores de Lagrange, métodos de Lagrangiano aumentado e técnicas de dualidade-penalidade.
Em 1987, Tasos C. Papanastasiou propôs uma regularização contínua do modelo, conhecida como modelo de Bingham-Papanastasiou. A regularização substitui a descontinuidade ideal da relação constitutiva por uma transição suave, facilitando sua solução numérica. As regiões que corresponderiam ao material não escoado passam a ter viscosidade aparente muito elevada, e a posição de uma superfície de escoamento pode ser estimada a partir da solução.
O modelo de Bingham também é usado como aproximação para materiais como concreto fresco e, sob determinadas condições, sangue em capilares.
Fórmulas do fator de atrito Em problemas de escoamento em tubulações, uma grandeza de interesse é a perda de carga associada ao atrito. Conhecido o fator de atrito f, é possível relacionar vazão, queda de pressão e dimensões da tubulação. Para o fator de atrito de Darcy, a equação de Darcy-Weisbach pode ser escrita como:
onde: é o fator de atrito de Darcy, adimensional; é a perda de carga por atrito, em m; é a aceleração da gravidade, em m/s²; é o diâmetro do tubo, em m; é o comprimento do tubo, em m; é a velocidade média do fluido, em m/s.
Para fluidos não newtonianos, o cálculo do fator de atrito pode levar a relações implícitas. Por isso, foram propostas correlações explícitas para diferentes regimes de escoamento.
Escoamento laminar Buckingham publicou em 1921 uma relação para o escoamento laminar plenamente desenvolvido de um plástico de Bingham em tubo circular. A equação de Buckingham-Reiner pode ser escrita, usando o fator de atrito de Darcy, como:
onde: é o fator de atrito de Darcy no regime laminar; é o número de Reynolds; é o número de Hedström.
Para o modelo de Bingham, esses números podem ser escritos como:
e
onde: é a massa específica do fluido, em kg/m³; é a viscosidade plástica, em Pa·s; é a tensão de escoamento, em Pa.
Escoamento turbulento Darby e Melson desenvolveram em 1981 uma correlação empírica para o fator de atrito de plásticos de Bingham. Darby, Mun e Boger publicaram depois uma forma modificada da correlação. Na convenção do fator de atrito de Darcy usada neste artigo, ela pode ser escrita como:
onde:
e é o fator de atrito de Darcy no regime turbulento. A correlação original usa o fator de atrito de Fanning. O fator 4 na expressão acima efetua a conversão para a convenção de Darcy.
Aproximações da equação de Buckingham-Reiner A equação de Buckingham-Reiner é implícita em . Embora possa ser reduzida a uma equação polinomial de quarto grau, sua solução fechada é pouco conveniente para cálculos rotineiros. Foram propostas expressões explícitas que evitam a solução iterativa.
Equação de Swamee-Aggarwal Swamee e Aggarwal propuseram em 2011 uma aproximação explícita para o fator de atrito de Darcy em escoamento laminar de fluidos de Bingham. A expressão ajustada à equação implícita de Buckingham-Reiner é:
Essa forma permite calcular diretamente a partir dos números de Reynolds e Hedström.
Solução de Danish-Kumar Danish et al. aplicaram o método de decomposição de Adomian à equação de Buckingham-Reiner para obter expressões explícitas destinadas ao escoamento em tubos lisos. O trabalho emprega o fator de atrito de Fanning. Com dois termos da decomposição, o fator laminar pode ser escrito como:
onde
e
Como o fator de atrito de Darcy é quatro vezes o fator de Fanning, o valor correspondente à convenção usada nas outras equações deste artigo é:
Equação combinada do fator de atrito para todos os regimes de escoamento
Equação de Darby-Melson Darby e Melson usaram as abordagens de Churchill e de Churchill e Usagi para combinar expressões dos regimes laminar e turbulento em uma única correlação:
onde:
Se e forem expressos na convenção de Darcy, a equação combinada fornece igualmente o fator de atrito de Darcy.
As correlações apresentadas acima não incluem a rugosidade relativa como parâmetro. A expressão de Danish et al. foi desenvolvida especificamente para tubos lisos, por isso a ausência da rugosidade nessas fórmulas não deve ser interpretada como uma propriedade geral de todo escoamento de fluidos de Bingham em tubulações.
Ver também Fluido não newtoniano, classe de fluidos que inclui materiais representados pelo modelo de Bingham Fluido newtoniano, modelo no qual a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de cisalhamento sem tensão de escoamento Reologia, estudo da deformação e do escoamento da matéria Pseudoplasticidade, comportamento no qual a viscosidade aparente diminui com a taxa de cisalhamento Mecânica dos fluidos, estudo do comportamento dos fluidos em repouso e em movimento Princípio de Bernoulli, relação entre pressão, velocidade e energia em determinados escoamentos
Ligações externas
Categoria:Reologia Categoria:Ciência dos materiais Categoria:Mecânica de fluidos