Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma: ,

onde é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de em torno do ponto . Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem em torno de de uma dada função -vezes diferenciável neste ponto é dado por:Wolfram Alpha LLC—A Wolfram Research CompanySobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de TaylorSérie de TaylorNotas de Aula MatLab Série, limite, equação diferencialThomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1 Amos Gilat, Vish Subramaniam, Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas: Uma Introdução com Aplicações Usando o MATLAB, Bookman, 2008 ISBN 8-577-80297-3Steven C. Chapra e Raymond P. Canale, Métodos Numéricos para Engenharia, McGraw Hill Brasil, 2011 ISBN 8-580-55011-4

No caso particular de , série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.

Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Convergência Toda série de Taylor possui um raio de convergência com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) .

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

cuja série de Taylor é :

Série de Taylor associada a uma função thumb|200px|Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.

A série de Taylor associada a uma função infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]a − r, a + r[ é a série de potências dada por

Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de (Série de Maclaurin) Função exponencial e logaritmo natural:

Série geométrica:

Teorema binomial:

Funções trigonométricas:

onde são números de Bernoulli.

onde são números de Euler.

Funções hiperbólicas:

Função W de Lambert:

Série de Taylor em várias variáveis A série de Taylor pode também ser definida para funções de .

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de em torno do ponto é dada por:

onde denota

Ou seja, tem-se:

No caso particular ,

Séries de Maclaurin As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde :

Dessa forma, a série pode ser expandida como:

Logo:

Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:

Série de Maclaurin para o

Para o , tem-se que:

Derivadas

Substituindo-se as derivadas na série, tem-se que:

Observa-se, que as derivadas segunda, quarta, sexta e oitava. Logo, os termos da série com elevado a alguma potência par não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:

Realizando-se a multiplicação e simplificando os expoentes:

Dessa forma, a série pode ser escrita como:

Série de Maclaurin para o Para o , tem-se que:

Derivadas

Observa-se, que as derivadas primeira, terceira, quinta, sétima e nona são iguais à zero. Logo, os termos da série com elevado a alguma potência ímpar não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:

Substituindo-se os valores das derivadas e da na série obtem-se:

Realizando-se a multiplicação e simplificando o 1° termo:

Ou ainda:

Ver também

Alpha Brook Taylor Série de Laurent Polinómio de Newton Handbook of Mathematical Functions

Bibliografia Heinrich Auchter. Brook Taylor, der mathematiker und philosoph; beiträge zur wissenschaftsgeschichte der zeit des Newton-Leibniz-streites,. Würzburg, K. Triltsch, 1937. Edmundo Capelas de Oliveira, Funções Especiais com Aplicações, Editora Livraria da Fisica ISBN 8-588-32542-X Steven C. Chapra, Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas - 3.ed. McGraw Hill Brasil, 2013 ISBN 8-580-55177-3

Ligações externas Exemplo Funções - Série de Taylor

Categoria:Séries matemáticas Categoria:Expansões em série