Em matemática, uma forma quadrática definida é uma forma quadrática sobre algum espaço vetorial real V que possui o mesmo sinal (sempre positivo ou sempre negativo) para cada vetor não nulo de V. De acordo com esse sinal, a forma quadrática é chamada positiva-definida ou negativa-definida.
A forma quadrática semi-definida é definida da mesma forma, exceto que "positivo" e "negativo" são substituídos por "não negativo" e "não positivo", respectivamente. Uma forma quadrática indefinida é aquele que tem tanto valores positivos como negativos.
Em termos mais gerais, a definição aplica-se a um espaço vetorial sobre um corpo ordenado.Milnor & Husemoller (1973) p.61
Forma bilinear simétrica associada
Formas quadráticas correspondem uma-a-uma a formas bilineares simétricas sobre o mesmo espaço.Isto é verdade somente sobre um corpo de características diversas que 2, mas aqui nós consideramos somente corpos ordenados, os quais tem necessariamente característica 0. Uma forma bilinear simétrica é também descrita como definida, semidefinida, etc, segundo sua forma quadrática associada. Uma forma quadrática e sua forma bilinear simétrica associada são relacionadas pelas seguintes equações:
Exemplo
Como exemplo, façamos , e consideremos a forma quadrática
onde , e são constantes. Se e , a forma quadrática é positivo definida. Se uma das constantes é positiva e a outra é zero, então é positivo semidefinida. Se e , então é indefinida.
Notas
Categoria:Álgebra linear