Na matemática, o axioma da escolha é um axioma da teoria dos conjuntos equivalente à afirmação "o produto de uma coleção não-vazia de conjuntos é não-vazio". Mais explicitamente, diz que para toda família indexada de conjuntos não-vazios existe uma família indexada de elementos tal que para todo Foi formulado em 1904 por Ernst Zermelo.ZERMELO (1904). Até o início do século XX era um axioma controverso, mas graças ao trabalho de Zermelo, Hilbert e outros matemáticos, o axioma da escolha foi satisfatoriamente modelado em lógica simbólica, resultando na teoria de conjuntos padrão da matemática contemporânea, a teoria ZFC - Zermelo-Fraenkel-Choice.
Uma motivação para seu uso é que um número de resultados matemáticos gerais aceitos, como o teorema de Tychonoff, necessitam do axioma da escolha para sua prova. Teóricos contemporâneos da teoria dos conjuntos também estudam axiomas que não são compatíveis com o axioma da escolha, como o axioma da determinação. O axioma da escolha é evitado em algumas várias matemáticas construtivas, embora existam várias matemáticas construtivas onde o axioma da escolha é vivo.
Descrição intuitiva O axioma da escolha diz que se você tiver uma coleção de cestas, cada qual contendo pelo menos um objeto, então é possível afirmar a existência de um conjunto, o conjunto de escolha, que contém exatamente um objeto de cada cesta—mesmo que haja um número infinito de cestas e não haja nenhuma regra que estabeleça qual objeto de cada cesta deve ser escolhido para formar parte desse conjunto.
Por exemplo,Bertrand Russell, Introdução à Filosofia Matemática, Zahar: Rio de Janeiro, 1981, p. 123. você não precisa do axioma da escolha para escolher um sapato de cada par, dentre um número infinito de pares de sapatos. É possível estabelecer uma regra como: pegar sempre o pé direito para formar um outro conjunto. Por outro lado, para escolher uma meia de cada par, dentre um número infinito de pares, é necessário utilizar o axioma da escolha. Sendo as meias de cada par iguais, não é possível estabelecer uma regra. O axioma da escolha afirma que o conjunto de escolha existe e contém uma meia de cada par.
Em geral, a partir de uma coleção finita de conjuntos não vazios, disjuntos dois-a-dois, pode ser demonstrada a existência de um conjunto de escolha com os demais axiomas de ZF sem usar o axioma da escolha, usando um argumento por indução. Por outra parte, se temos uma família infinita de conjuntos não vazios, disjuntos dois-a-dois, mas temos uma regra que permita escolher um elemento de cada conjunto da coleção, como no caso dos sapatos ou de pares de números inteiros (escolhemos o menor), também não precisamos do axioma da escolha para afirmar a existência do conjunto de escolha. Entretanto, quando não acontecem nenhuma dessas dois casos, o axioma da escolha afirma a existência do conjunto de escolha, resultando, em certo sentido, uma escolha arbitrária, incluso quando o conjunto de escolha é infinito.
Uma das razões pela qual alguns matemáticos não gostam do axioma da escolha é que ele implica a existência de objetos bizarros e contra-intuitivos. Um exemplo é o paradoxo de Banach–Tarski. Este paradoxo estabelece que é possível dividir uma esfera sólida tridimensional em um número finito de pedaços e com estes pedaços construir duas esferas, do mesmo tamanho da original.
Enunciado Seja um conjunto cujos elementos são conjuntos não-vazios. Uma função de domínio tal que é denominada uma função de escolha. O axioma da escolha é o enunciado: para todo conjunto de conjuntos não vazios, existe uma função de escolha. Em termos formais,
Assim, a negação do axioma da escolha diz que existe um conjunto de conjuntos não-vazios que não possui função de escolha.
Cada função de escolha numa coleção X de conjuntos não vazios é um elemento do Produto Cartesiano dos conjuntos em X. Essa não é a situação mais geral de um produto Cartesiano de uma família de conjuntos, onde o mesmo conjunto pode ocorrer mais de uma vez como um fator; entretanto, pode-se focar em elementos de um certo produto que escolhe o mesmo elemento toda vez que um dado conjunto aparece como fator, e tais elementos correspondem a um elemento do produto Cartesiano de todos os conjuntos distintos na família. O axioma da escolha garante a existência de tais elementos; sendo assim equivalente a: Dada qualquer família de conjuntos não-vazios, seu produto cartesiano é um conjunto não-vazio.
Nomenclatura ZF, AC, e ZFC Nesse artigo e outras discussões sobre o Axioma da Escolha as seguintes abreviações são comuns: AC – o Axioma da Escolha (Axiom of Choice). ZF – Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel omitindo o Axioma da Escolha. ZFC – Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, estendido para incluir o Axioma da Escolha.
Variantes Existem várias outras afirmações equivalentes ao Axioma da Escolha. São equivalentes no sentido de, na presença de outros axiomas básicos da teoria dos conjuntos, eles implicam o Axioma da Escolha e são implicados por ele.
Uma variação evita o uso de funções de escolha, com efeito, substituindo cada função de escolha por sua imagem. Dado qualquer conjunto de conjuntos não-vazios pares disjuntos, existe pelo menos um conjunto que contém exatamente um elemento em comum com cada conjunto em .Herrlich, p. 9. Isso garante para qualquer partição de um conjunto a existência de um subconjunto de contendo exatamente um elemento de cada parte da partição.
Outro axioma equivalente apenas considera coleções que são essencialmente conjunto das partes de outros conjuntos: Para qualquer conjunto , o conjunto das partes de (com os conjunto vazios removidos) tem uma função de escolha. Autores que usam essa formulação muitas vezes falam da função de escolha em , mas esta noção é um pouco diferente da função de escolha. Seu domínio é o conjunto das partes de (com o conjunto vazio removido), e assim faz sentido para qualquer conjunto , enquanto que com a definição usada em algumas partes desse artigo, o domínio de uma função de escolha em uma coleção de conjuntos é essa coleção, e apenas faz sentido para conjuntos de conjuntos. Com essa noção alternativa de função de escolha, o Axioma da Escolha pode ser formulado como Todo conjunto tem uma função de escolha.Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972 (1960), ISBN 0-486-61630-4, p. 240 que é equivalente a Para qualquer conjunto existe uma função tal que para qualquer subconjunto não-vazio de , pertence a . A negação do axioma então pode ser expressada como: Existe um conjunto tal que para todas as funções (no conjunto de subconjuntos não-vazios de ), existe um tal que não pertence a .
Restrição a conjuntos finitos O enunciado do Axioma da Escolha não especifica se a coleção de conjuntos não-vazios é finita ou infinita, e então implica que todo conjunto finito de conjuntos não-vazios tem uma função de escolha. Entretanto, este caso particular é um teorema da Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o Axioma da Escolha (ZF); ela é facilmente provada por indução matemática.Tourlakis (2003), pp. 209–210, 215–216. No caso ainda mais simples de uma coleção de um conjunto, uma função de escolha corresponde a apenas um elemento, então este exemplo do Axioma da Escolha diz que todo conjunto não-vazio tem um elemento; isso é válido trivialmente. O Axioma da Escolha pode ser visto como afirmando a generalização dessa propriedade, já evidente para coleções finitas, para coleções arbitrárias.
Uso Até o final do século XIX, o Axioma da Escolha foi sempre usado implicitamente, embora ainda não formalmente definido. Por exemplo, depois de estabelecido que o conjunto contém apenas conjuntos não-vazios, um matemático poderia dizer "faça ser um dos membros de para todo s em " para definir a função . Em geral, é impossível provar que existe sem o Axioma da Escolha, mas isso parece ter passado despercebido até para Zermelo.
Nem toda situação requer o Axioma da Escolha. Para conjuntos finitos , o Axioma da Escolha segue dos outros axiomas da teoria dos conjuntos. Nesse caso é equivalente a dizer que se tivermos várias caixas (um número finito), cada uma contendo pelo menos um item, então podemos escolher exatamente um item de cada caixa. Claramente podemos fazer isso: Começamos pela primeira caixa, escolhemos um item; vai para a segunda caixa, escolhemos um item; e assim sucessivamente. O número de caixas é finito, então eventualmente nosso procedimento de escolha irá terminar. O resultado é uma função de escolha explícita: uma função que pega a primeira caixa para o primeiro elemento que escolhemos, a segunda caixa para o segundo elemento que escolhemos, e assim sucessivamente. (Uma prova formal para todos os conjuntos finitos usaria o princípio da indução matemática para provar "para todo número natural , toda família de conjuntos não-vazios tem uma função de escolha"). Esse método não pode, entretanto, ser usado para mostrar que toda família contável de conjuntos não-vazios tem uma função de escolha, como é afirmada pelo axioma da escolha contável. Se o método é aplicado a uma sequência infinita de conjuntos não-vazios, uma função é obtida a cada etapa finita, mas não existe uma etapa tal que uma função de escolha seja construída para a família inteira, nenhuma função de escolha "limite" pode ser construída, em geral, na ZF sem o Axioma da Escolha.
Exemplos A natureza dos conjuntos não-vazios individuais na coleção pode tornar possível evitar o Axioma da Escolha para certas coleções infinitas. Por exemplo, suponha que cada membro da coleção X é um subconjunto não-vazio dos números naturais. Todo tal subconjunto tem um menor elemento, então para especificar nossa função de escolha, podemos simplesmente dizer que ela mapeia cada conjunto para o menor elemento desse conjunto. Isso nos dá uma escolha definida de um elemento de cada conjunto, e torna desnecessário aplicar o Axioma da Escolha.
A dificuldade aparece quando não existe escolha natural dos elementos de cada conjunto. Se não podemos fazer escolhas explícitas, como podemos saber que nosso conjunto existe? Por exemplo, suponha que X é o conjunto de todos os subconjuntos não-vazios dos números reais. Primeiro poderíamos tentar proceder como se X fosse finito. Se tentarmos escolher um elemento de cada conjunto, então, pelo fato de X ser infinito, nosso procedimento de escolha nunca vai acabar, e consequentemente, nunca estaremos aptos a produzir uma função de escolha para todo X. Depois, poderíamos tentar especificar o menor elemento de cada conjunto. Mas, alguns subconjuntos dos número reais não possuem menor elemento. Por exemplo, o intervalo aberto (0,1) não possui um menor elemento: se x pertence a (0,1), então x/2 também pertence, e x/2 é sempre estritamente menor que x. Logo esta tentativa também falha.
Adicionalmente, considere por exemplo o círculo unitário S, e a ação sobre S por um grupo G consistindo de todas as rotações racionais. Essas são rotações por ângulos que são múltiplos racionais de π. Aqui G é contável enquanto S é incontável. Segue que S quebra em incontáveis órbitas sob G. Usando o Axioma da Escolha, podemos pegar um único ponto de cada órbita, obtendo um subconjunto incontável X de S com a propriedade que todas as suas translações por G são disjuntos de X. Em outras palavras, o círculo fica particionado em uma coleção contável de conjuntos disjuntos, que são dois a dois congruentes. Agora é fácil convencer-se que o conjunto X poderia não ser mensurável por uma medida aditiva contável. Daí não se pode esperar encontrar um algoritmo para encontrar um ponto em cada órbita, sem usar o Axioma da Escolha. Veja conjuntos não-mensuráveis para mais detalhes.