miniaturadaimagem|400x400px|Visualização do teorema de Girsanov. O lado esquerdo mostra um processo de Wiener negativo; do lado direito, cada etapa do processo está colorido de acordo com a probabilidade na medida Q. A densidade de transformação de P a Q é dada pelo teorema de Girsanov. Na teoria da probabilidade, o teorema de Girsanov (em nome de Igor Vladimirovich Girsanov) descreve como a dinâmica de processos estocásticos muda quando o a medida original é alterada para uma medida da probabilidade equivalente.Musiela, M.; Rutkowski, M. (2004). Martingale Methods in Financial Modelling (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 3-540-20966-2. Categoria:!Páginas com citações sem título Categoria:Processos estocásticos Girsanov O teorema é especialmente importante na teoria da matemática financeira, na medida em que converte a probabilidade de uma medida física que descreve a probabilidade de que um ativo subjacente (como um preço ou uma taxa de juros) ter um determinado valor ou valores em uma medida de risco-neutro, uma uma ferramenta muito útil para o cálculo de preços derivados do subjacente.
História Resultados deste tipo foram pela primeira vez demonstrados por Cameron–Martin na década de 1940 e por Girsanov, em 1960. Eles foram, posteriormente, estendido para classes mais gerais de processo que culminaram na forma geral de Lenglart (1977).
Significado O teorema de Girsanov é importante na teoria geral de processos estocásticos, pois permite que o resultado-chave de que se Q é uma medida absolutamente contínua com respeito a P , então, todo P-semimartingale é um Q-semimartingale.
Demonstração do teorema Apresentamos o teorema primeiro para o caso especial quando o processo estocástico subjacente é um processo de Wiener. Este caso especial é suficiente para preços de risco-neutro no modelo de Black-Scholes e em muitos outros modelos (por exemplo, modelos contínuos).
Deixe ser um processo de Wiener espaço de probabilidade Wiener . Deixe ser um processo adaptado mensurável para a filtragem natural do processo de Wiener com .
Defina o exponencial Doléans de X com respeito a W
Se é um martingale estritamente positivo, uma medida de probabilidade Q pode ser definida em de tal forma a termos um derivativo de de Radon–Nikodym
Em seguida, para cada t a medida Q restrita para os campos sigma não aumentados é equivalente a P restrito a . Além disso, se Y é um local de martingale em P, então o processo
é um Q local de martingale no espaço de probabilidade filtrado .
Ver também Teorema de Cameron–Martin
Referências
Ligações externas Notas sobre Estocásticos Cálculo que contém um esquema simples prova do teorema de Girsanov. Aplicada Multidimensional Teorema de Girsanov que contém financeiras aplicações do teorema de Girsanov.