Um intervalo entre primos consecutivos é a diferença entre dois números primos sucessivos. O n-ésimo intervalo de primos, denotado por gn ou g(pn) (Usa-se a letra g do inglês prime gap) é a diferença entre (n + 1)-ésimo é o n-ésimo números primos, i.e.
Tem-se que g1 = 1, g2 = g3 = 2, e g4 = 4. A sequência (gn) dos intervalos entre primos é intensamente estudada, por conta de sua importância na distribuição dos números primos. Apesar disso, diversas conjecturas permanecem sem demonstração ou refutação. Os primeiros 60 intervalos entre dois primos consecutivos são:
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... .
Pela definição de gn, todo número primo pode ser escrito como
Observações iniciais
O primeiro, menor e único intervalo entre primos consecutivos ímpar é 1, entre o único número primo par, 2, e o primeiro número primo ímpar, 3. Todos os outros intervalos entre primos são pares, pelo fato de quaisquer dois primos consecutivos maiores que 3 terem diferença par. Existe apenas um par de intervalos entre três números naturais ímpares dos quais todos são primos. Estes intervalos são g2 eg3 entre os primos 3, 5 e 7 (o único par de números primos trigêmeos).
Para algum número primo P, escrevemos P# para representar P primorial, ou seja, o produto de todos os números primos menores ou iguais a P. Se Q é o número primo seguinte a P, então a sequência
é uma sequência Q − 2 números inteiros compostos, onde temos um intervalo entre primos de tamanho mínimo Q − 1. Portanto, existem intervalos entre primos de tamanho arbitrariamente longos, i.e., para cada número primo P, existe um inteiro n com g. Outra forma de ver que intervalos arbitrariamente grandes de primos é a circunstância de que a densidade de números primos se aproxima de zero, de acordo com o teorema dos números primos.
Na verdade, intervalos entre primos de P números podem ocorrer com números muito menores que P#. Por exemplo, a menor sequência de 71 números inteiros compostos consecutivos ocorre entre 31398 e 31468, enquanto 71# tem vinte e sete dígitos – seu valor total é 557940830126698960967415390.
Ainda que os intervalos das diferenças entre primos aumentem assintoticamente como o logaritmo neperiano, a razão dos intervalos entre primos para os inteiros decresce e assintoticamente é 0. Isso é novamente consequência do teorema do número primo.
Na direção oposta, a conjetura dos primos gêmeos afirma que para infinitos valores inteiros de n.
Resultados numéricos
O maior intervalo entre dois primos conhecidos até 2016 com prováveis primos identificados tem tamanho 4680156, com números primos de 99750 dígitos encontrada por Martin Raab. O maior intervalo entre dois primos com primos já provados tem tamanho 1113106, com números primos de 18662 encontrados por P. Cami, M. Jansen and J. K. Andersen.Intervalo de tamanho 1113106
Dizemos que gn é um intervalo maximal, se gm < gn m < n. O maior intervalo maximal conhecido até agosto de 2016 tem tamanho 1476, encontrado por Tomás Oliveira e Silva. É o septuagésimo-sétimo intervalo maximal, e ocorre após o número primo 1425172824437699411.Intervalos maximais Outros recordes de intervalos maximais podem ser vistos em .
Em 1931, Erik Westzynthius provou que os intervalos entre primos cresce de forma maior do que a logarítmica. Ou seja, .
Normalmente, a razão gn / ln(pn) é chamada de mérito de um intervalo entre primos gn .
+ Maiores valores de "mérito" conhecidos (até novembro de 2016)NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERITDynamic prime gap statistics Mérito gn algarismos pn Data Descobridor 36,858288 10716 127 2016 Dana Jacobsen 36,590183 13692 163 2016 Dana Jacobsen 36,420568 26892 321 2016 Dana Jacobsen 35,424459 66520 816 2012 Michiel Jansen 35,310308 1476 19 1425172824437699411 2009 Tomás Oliveira e Silva
Até novembro de 2016, o maior valor de "mérito" conhecido foi descoberto por Dana Jacobsen, sendo
onde 283# indica o primorial de 283.
A razão de Cramér–Shanks–Granville é dada por
O maior valor conhecido dessa razão é 0,9206386 para o primo 1693182318746371. Outros termos recordes estão em .
+ Os 75 primeiros intervalos maximais (n não está listado)+ Números de 1 a 25 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 1 12910 34 1 32711 36 9 55112 44 15 68313 52 19 60914 72 31 39715 86 155 92116 96 360 65317 112 370 26118 114 492 11319 118 1 349 53320 132 1 357 20121 148 2 010 73322 154 4 652 35323 180 17 051 70724 210 20 831 32325 220 47 326 693+ Números de 26 a 50 # gn pn26 222 122 164 74727 234 189 695 65928 248 191 912 78329 250 387 096 13330 282 436 273 00931 288 1 294 268 49132 292 1 453 168 14133 320 2 300 942 54934 336 3 842 610 77335 354 4 302 407 35936 382 10 726 904 65937 384 20 678 048 29738 394 22 367 084 95939 456 25 056 082 08740 464 42 652 618 34341 468 127 976 334 67142 474 182 226 896 23943 486 241 160 624 14344 490 297 501 075 79945 500 303 371 455 24146 514 304 599 508 53747 516 416 608 695 82148 532 461 690 510 01149 534 614 487 453 52350 540 738 832 927 927+ Números de 51 a 75 # gn pn51 582 1 346 294 310 74952 588 1 408 695 493 60953 602 1 968 188 556 46154 652 2 614 941 710 59955 674 7 177 162 611 71356 716 13 829 048 559 70157 766 19 581 334 192 42358 778 42 842 283 925 35159 804 90 874 329 411 49360 806 171 231 342 420 52161 906 218 209 405 436 54362 916 1 189 459 969 825 48363 924 1 686 994 940 955 803641 132 1 693 182 318 746 371651 184 43 841 547 845 541 059661 198 55 350 776 431 903 243671 220 80 873 624,627,234,849681 224 203 986 478 517 455 989691 248 218 034 721 194 214 273701 272 305 405 826 521 087 869711 328 352 521 223 451 364 323721 356 401 429 925 999 153 707731 370 418 032 645 936 712 127741 442 804 212 830 686 677 669751 476 1 425 172 824 437 699 411
Resultados posteriores
Limite superior O postulado de Bertrand, provado em 1852, afirma que sempre existe um número primo entre k e 2k, em particular pn+1 < 2pn, o que significa que gn < pn.
O teorema do número primo, provado em 1896, diz que as distâncias totais entre dois intervalos entre o primo p e o próximo primo é ln(p). O real tamanho do intervalo pode ser muito maior ou menor. Apesar disso, o teorema do número primo nos deduz um limite superior para o tamanho dos intervalos entre primos: Para todo ε > 0, existe um número N tal que
gn < εpn n > N.
Pode-se deduzir que os intervalos arbitrariamente pequenos tem proporções com os números primos a partir do limite do quociente
Hoheisel em 1930 foi o primeiro a mostrar que existe uma constante θ < 1 tal que
mostrando assim que
para n suficientemente grande.
Hoheisel obteve um possível valor para θ. O valor da constante foi posteriormente aprimorado para Heilbronn, e para θ = 3/4 + ε, para algum ε > 0, por Chudakov.
O melhor resultado é devido a Ingham, que mostrou que
para alguma constante positiva c, onde O refere-se à notação de ordem de grandeza, e
para algum . ζ denota a função zeta de Riemann e π a função contagem de números primos. Sabendo que para algum é admissível, obtém-se que θ é um número maior que .
Uma consequência imediata do resultado de Ingham é que sempre existe um número primo entre n3 e (n + 1)3, se n é suficientemente grande. A hipótese de Lindelöf pode implicar que a fórmula de Ingham funciona para qualquer constante positiva c: mas mesmo isso não é o suficiente para implicar que existe um número primo entre n2 e (n + 1)2 para n suficientemente grande (veja a Conjectura de Legendre). Para verificar isso, um resultado mais forte como a conjectura de Cramér se faz necessária.
Huxley em 1972 mostrou que pode-se escolher θ = \frac{7}{12} = 0,58(3).
Um resultado, devido a Baker, Harman e Pintz em 2001, mostrou que θ pode ser tomado como sendo 0,525.
Em 2005, Daniel Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım demonstraram que
e dois anos mais tarde mostraram que
Em 2013, Yitang Zhang provou que
significando assim que existem infinitos intervalos entre dois primos consecutivos que não excedem 70 milhões. Um esforço colaborativo do projeto Polymath Project é feito para otimizar o limite de Zhang. Em novembro de 2013, James Maynard criou um novo refinamento, permitindo a ele reduzir o limite para 600 e mostra que para algum m existe um intervalo maximal de m números primos. Usando as ideias de Maynard, o projeto Polymath melhorou o limite para 46; assumindo a conjectura de Elliott–Halberstam, N pode ser reduzido para 12 e 6, respectivamente.
Limites inferiores Em 1938, Robert Rankin provou a existência de uma constante c > 0 tal que a desigualdade
funciona para infinitos valores de n, melhorando os resultados de Westzynthius e Paul Erdős. Ele posteriormente mostrou que esta constante pode ser c < eγ,onde γ é a constante de Euler–Mascheroni. O valor da constante c foi melhorado em 1997 para um valor menor que 2eγ.
Paul Erdős ofereceu um prêmio de $10000 (10000 dólares) para uma prova ou refutação de que a constante c na desigualdade acima pode ser tomado como sendo arbitrariamente grande. Foi provado como sendo correto em 2014 por Ford–Green–Konyagin–Tao e, de forma independente, por James Maynard.
O resultado foi posteriormente melhorado para
para infinitos valores de n por Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.
Limites inferiores para cadeias de primos podem então ser determinados.
Conjecturas sobre o intervalo entre primos thumb|350px|A função de intervalo entre primos.
Mesmo melhores resultados estão condicionados à hipótese de Riemann. Harald Cramér demonstrou que a hipótese de Riemann inplica que gn satisfaz
Posteriormente, ele conjecturou que esses valores são sempre menores. Ou seja, a conjectura de Cramér utiliza a seguinte assertiva:
A conjectura de Firoozbakht afirma que (onde é o n-ésimo número primo) é uma função estritamente decrescente de n, i.e.,
Se esta conjectura for verdadeira, então a função satisfaz .
Isso implica na forma forte da conjectura de Crámer, mas é inconsistente com as heurísticas de Granville e Pintz.. que sugere que vale para onde denota a constante de Euler-Mascheroni.
Enquanto isso, a conjectura de Oppermann é mais fraca que a conjectura de Cramér. O tamanho esperado de um intervalo entre dois primos consecutivos com a conjectura de Oppermann é da ordem de
Como resultado, isso significa (assumindo a conjectura de Oppermann como verdadeira) m > 0 (provavelmente m = 30) para todo número natual n > m satisfaz
A conjectura de Andrica, a qual é mais fraca que a de Oppermann, afirma queGuy (2004) §A8
Como uma função aritmética
O tamanho do intervalo gn entre o n-ésimo e o (n + 1)-ésimo números primos é um exemplo de função aritmética. Nesse contexto, é usualmente denotada por dn e chamada de função diferença entre primos. Esta função não aditiva nem multiplicativa.
Programa em Python
Vários tipos de programas podem ser feitos para calcular o valor de , sendo um importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tem-se uma versão para Python, que calcula para os números primos entre 1 e 10000 (até ao número primo 9973):
def prime(num): for divisor in range(2, num): if num % divisor == 0: return False return True
list_prime = [] for i in range(1,10000): if prime(i): list_prime.append(i)
for n in range(2, len(list_prime)): print(f'g({n-1}) = {list_prime[n] - list_prime[n-1]}')
Ver também
Desigualdade de Bonse Números primos gêmeos Conjectura de Goldbach
Ligações externas
Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory.
Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture. www.primegaps.com Um site dedicado exclusivamente ao estudo de intervalos entre primos. Ian Stewart, Almanaque das curiosidades matemáticas.' Rio de Janeiro, Zahar, 2009. Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length.
Categoria:Funções aritméticas Categoria:Números primos