Em matemática, um número de Motzkin para um dado número n é o número de diferentes maneiras de desenhar cordas não-intersectantes entre n pontos sobre uma circunferência. Os números de Motzkin são denominados em memória de Theodore Motzkin, tendo diversas aplicações em geometria, combinatória e teoria dos números.
Os números de Motzkin para formam a sequência:
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, ...
Exemplos A figura seguinte mostra as 9 maneiras de desenhar cordas não-intersectantes entre 4 pontos sobre uma circunferência.
Imagem:MotzkinChords4.svg
A figura seguinte mostra as 21 maneiras de desenhar cordas não-intersectantes entre 5 pontos sobre uma circunferência.
Imagem:MotzkinChords5.svg
Propriedades Os números de Motzkin satisfazem as relações de recorrência
Os números de Motzkin podem ser expressos em termos dos coeficientes binomiais e números de Catalan:
Um primo de Motzkin é um número de Motzkin que é número primo. eram conhecidos quatro destes primos:
2, 127, 15511, 953467954114363
Interpretações combinatoriais O número de Motzkin para n é também o número de sequências inteiras positivas de comprimento n−1, nas quais os elementos inicial e final são 1 ou 2, e a diferença entre quaisquer dois elementos consecutivos é −1, 0 ou 1.
Também no quadrante direito superior de uma malha, o número de Motzkin para n fornece o número de rotas da coordenada (0, 0) à coordenada (n, 0) sobre n passos se é admitido mover-se somente para a direita (para cima, para baixo ou em linha reta) a cada passo, não sendo possível cruzar o eixo y = 0.
Por exemplo, a figura seguinte ilustra as nove trajetórias Motzkin válidas de (0, 0) a (4, 0):
Imagem:Motzkin4.svg
Existem no mínimo quatorze diferentes manifestações dos números de Motzkin em diferentes ramos da matemática, como enunciado por em suas investigações sobre os números de Motzkin. mostraram que as permutações vexilárias são enumeradas pelos números de Motzkin.
Ver também Número de Delannoy Número de Narayana Número de Schröder
Referências
Ligações externas
Categoria:Sequências de números inteiros