miniaturadaimagem|Um processo de Cauchy (processo de Lévy) e um outro processo. Em teoria da probabilidade, um processo de Cauchy é um tipo de processo estocástico. Há formas simétricas e assimétricas do processo de Cauchy. O termo "processo de Cauchy" não especificado é frequentemente usado para fazer referência ao processo de Cauchy simétrico
O processo de Cauchy tem certas propriedades:
É um processo de Lévy; É um processo estável; É um processo de saltos puros; Seus momentos são infinitos.
Processo de Cauchy simétrico O processo de Cauchy simétrico pode ser descrito por um movimento browniano ou processo de Wiener sujeito ao subordinador de Lévy. O subordinador de Lévy é um processo associado a uma distribuição de Lévy, tendo parâmetro de localização e parâmetro de escala . A distribuição de Lévy é um caso especial de distribuição gama inversa. Então, usando para representar o processo de Cauchy e para representar o subordinador de Lévy, o processo de Cauchy simétrico pode ser descrito como:
A distribuição de Lévy é a probabilidade do primeiro tempo de chegada para um movimento browniano. Logo, o processo de Cauchy é na essência o resultado de dois processos de movimento browniano independentes.
A representação de Lévy-Khintchine para o processo de Cauchy simétrico é um triplo com deriva zero e difusão zero, o que resulta em um triplo de Lévy-Khintchine de , em que .
A função característica marginal do processo de Cauchy simétrico tem a forma:
A distribuição de probabilidade marginal do processo de Cauchy simétrico é a distribuição de Cauchy cuja densidade é
Processo de Cauchy assimétrico O processo de Cauchy assimétrico é definido nos termos de um parâmetro . Aqui, é o parâmetro de obliquidade e seu valor absoluto deve ser menor ou igual a . No caso em que , o processo é considerado um processo de Cauchy completamente assimétrico.
O triplo de Lévy-Khintchine tem a forma , em que , em que , e .
Isto posto, é uma função de e .
A função característica da distribuição de Cauchy assimétrica tem a forma:
A distribuição de probabilidade marginal do processo de Cauchy é uma distribuição estável com índice de estabilidade igual a .
Referências
Categoria:Processos estocásticos