Em teoria das probabilidades, uma excursão browniana é um processo estocástico intimamente relacionado com um processo de Wiener (ou movimento browniano). Ocorrências de excursão browniana são essencialmente simples ocorrências de um processo de Wiener impelidas a satisfazer certas condições. Em particular, uma excursão browniana é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1. Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva. Excursões brownianas são importantes porque, dentre outras razões, surgem naturalmente como o processo limite de uma quantidade de teoremas centrais do limite funcionais condicionais.
Definição Uma excursão browniana é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1. Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva.
Outra representação de uma excursão browniana em termos de um movimento browniano (proposta por Paul Lévy e notada por Kiyoshi Itō e Henry P. McKean Jr.) se refere ao último tempo em que atinge zero antes do tempo 1 e o primeiro tempo em que atinge zero depois do tempo 1:
Considere o tempo em que a ponte browniana atinge seu mínimo em . Em 1979, Wim Vervat mostrou que:
Propriedades A representação de Vervaat de uma excursão browniana tem várias consequências para diversas funções de . Em particular,
o que também pode ser derivado por cálculos explícitos, e
O seguinte resultado se aplica:
E os seguintes valores para o segundo momento e a variância podem ser calculados pela forma exata da distribuição e densidade:
Em 1989, Piet Groeneboom deu uma expressão da transformada de Laplace da densidade de . Uma fórmula para uma certa transformada dupla da distribuição desta integral de área foi dada por Guy Louchard em 1984.
Em 1983, Groeneboom e Jim Pitman deram decomposições do movimento browniano em termos de excursões brownianas independentes e identicamente distribuídas e do menor majorante côncavo (ou do maior minoraste convexo) de .
Conexões e aplicações A área da excursão browniana
surge em conexão com a enumeração de grafos conectados, outros problemas em teoria combinatória, a distribuição limite de números de Betti de certas variedades em teoria da co-homologia. Em 1991, Lajos Takács mostrou que tem densidade
em que são os zeros da função de Airy e é a função hipergeométrica confluente. Em 2007, Svante Janson e Guy Louchard mostraram que
e
Os autores também deram expansões de ordem mais elevada em ambos os casos.
Em 2007, Janson deu momentos de e muitas outras funcionais de área. Em particular,
Excursões brownianas também surgem em conexão com problemas de filas, tráfego ferroviário e alturas de árvores binárias aleatoriamente enraizadas.
Ver também Movimento browniano Ponte browniana Processo de Wiener
Referências
Categoria:Processos estocásticos