380px|miniatura|Gráfico mostrando a evolução histórica do recorde da precisão da aproximação numérica de pi, medido em dígitos decimais (plotado em escala logarítmica; no tempo antes de 1400 está fora de escala)
thumb|right|Aproximação numérica de : enquanto pontos são aleatoriamente dispersos dentro da unidade quadrada, alguns caem dentro da unidade circular. A fração de pontos que caem no círculo aproxima-se de quando mais pontos são adicionados a ele
380px|thumb|Gráfico mostrando a evolução histórica do recorde de precisão das aproximações numéricas de pi, medido em casas decimais (representado numa escala logarítmica; o tempo antes de 1400 não está à escala)
As aproximações para a constante matemática pi () na história da matemática alcançaram uma precisão de 0,04% do valor verdadeiro antes do início da Era Comum. Na matemática chinesa, isto foi melhorado para aproximações corretas correspondentes a cerca de sete dígitos decimais no século V.
Nenhum progresso adicional foi feito até ao século XIV, quando Madhava de Sangamagrama desenvolveu aproximações corretas para onze e depois treze dígitos. Jamshīd al-Kāshī alcançou dezasseis dígitos a seguir. Os matemáticos do início da era moderna alcançaram uma precisão de 35 dígitos no início do século XVII (Ludolph van Ceulen), e 126 dígitos no século XIX (Jurij Vega).
O recorde de aproximação manual de é detido por William Shanks, que calculou 527 decimais corretamente em 1853. Desde meados do século XX, a aproximação de tem sido tarefa de computadores digitais eletrônicos (para um relato abrangente, veja a cronologia do cálculo de pi). Em 11 de dezembro de 2025, o recorde atual foi estabelecido pela StorageReview com o programa y-cruncher de Alexander Yee, com 314 trilhões (3,14×) de dígitos.
História inicial As aproximações mais conhecidas de datadas de antes de a.C eram precisas até duas casas decimais; isto foi melhorado na matemática chinesa, em particular em meados do primeiro milênio, para uma precisão de sete casas decimais. Depois disso, não houve mais progressos até ao final do período medieval.
Alguns egiptólogos afirmaram que os antigos egípcios usavam uma aproximação de como = 3,142857 (cerca de 0,04% acima do valor) desde o Império Antigo (c. 2700–2200 a.C.). Esta afirmação tem sido recebida com ceticismo.
A matemática babilónica geralmente aproximava a 3, o que era suficiente para os projetos arquitetónicos da época (notavelmente também refletido na descrição do Templo de Salomão na Bíblia Hebraica).Ver #Imputed biblical value. "Houve preocupação em relação à aparente afirmação bíblica de ≈ 3 desde os primórdios do Judaísmo rabínico, abordada pelo Rabi Neemias no século II." Os babilônios sabiam que isso era uma aproximação, e uma tabuleta matemática do período paleobabilónico escavada perto de Susa em 1936 (datada de entre os séculos XIX e XVII a.C.) fornece uma aproximação melhor de como = 3,125, cerca de 0,528% abaixo do valor exato.Consulte também "em 1936, uma tabuleta foi escavada a cerca de 200 milhas da Babilónia. ... A referida tabuleta, cuja tradução foi parcialmente publicada apenas em 1950, ... afirma que a razão do perímetro de um hexágono regular para a circunferência do círculo circunscrito é igual a um número que na notação moderna é dado por 57/60+36/(60)2 [i.e. = 3/0,96 = 25/8]".
Quase ao mesmo tempo, o Papiro de Rhind egípcio (datado do Segundo Período Intermediário, c. 1600 a.C., embora se afirme ser uma cópia de um texto mais antigo do Império Médio) implica uma aproximação de como ≈ 3,16 (preciso até 0,6%) ao calcular a área de um círculo através da aproximação com o octógono.
Cálculos astronómicos no Shatapatha Brahmana (c. século VI a.C.) usam uma aproximação fracionária de .
O Mahabharata (500 a.C. – 300 d.C.) oferece uma aproximação de 3, nas razões oferecidas nos versos do Bhishma Parva: 6.12.40–45.
No século III a.C., Arquimedes provou as desigualdades estritas < < , por meio de polígonos regulares de 96 lados (precisões de 2·10−4 e 4·10−4, respetivamente).
No século II d.C., Ptolomeu usou o valor , a primeira aproximação conhecida precisa a três casas decimais (precisão de 2·10−5). É igual a o que é preciso até dois dígitos sexagesimais.
O matemático chinês Liu Hui em 263 d.C. computou entre e ao inscrever um polígono de 96 e de 192 lados; a média destes dois valores é (precisão de 9·10−5). Ele também sugeriu que 3,14 era uma aproximação suficientemente boa para fins práticos. Foi-lhe também frequentemente creditado um resultado posterior e mais preciso, π ≈ = 3,1416 (precisão de 2·10−6), embora alguns estudiosos acreditem que isto se deve ao matemático chinês posterior (do século V) Zu Chongzhi.. Reimpresso em . Veja em particular pp. 333–334 (pp. 28–29 da reimpressão). Sabe-se que Zu Chongzhi computou como estando entre 3,1415926 e 3,1415927, o que estava correto até sete casas decimais. Ele também forneceu duas outras aproximações de : π ≈ e π ≈ , que não são tão precisas quanto o seu resultado decimal. A última fração é a melhor aproximação racional possível de usando menos de cinco dígitos decimais no numerador e no denominador. Os resultados de Zu Chongzhi superam a precisão alcançada na matemática helenística e permaneceriam sem melhorias por quase um milênio.
Na Índia da era Gupta (século VI), o matemático Aryabhata, no seu tratado astronómico Āryabhaṭīya afirmou:
Aproximando a quatro casas decimais: π ≈ = 3,1416,Āryabhaṭīya (): . "Adicione quatro a cem, multiplique por oito e depois adicione sessenta e dois mil. O resultado é aproximadamente a circunferência de um círculo de diâmetro vinte mil. Por esta regra, a relação da circunferência para o diâmetro é dada." Por outras palavras, (4 + 100) × 8 + 62000 é a circunferência de um círculo com diâmetro 20000. Isto fornece um valor de π ≈ = 3,1416, Aryabhata afirmou que o seu resultado "aproximadamente" ( "aproximando-se") dava a circunferência de um círculo. O seu comentador do século XV Nilakantha Somayaji (Escola de astronomia e matemática de Kerala) argumentou que a palavra significa não apenas que isto é uma aproximação, mas que o valor é incomensurável (irracional).
Idade Média Nenhum progresso adicional foi feito por quase um milênio, até ao século XIV, quando o matemático e astrónomo indiano Madhava de Sangamagrama, fundador da Escola de astronomia e matemática de Kerala, encontrou a série de Maclaurin para o arco-tangente, e depois duas séries infinitas para . Uma delas é agora conhecida como a série de Madhava-Leibniz, baseada em
A outra baseava-se em
Ele usou os primeiros 21 termos para computar uma aproximação de correta até 11 casas decimais como .
Ele também melhorou a fórmula baseada em arctan(1) ao incluir uma correção:
Não se sabe como ele chegou a esta correção. Usando-a, ele encontrou uma aproximação de com 13 casas decimais de precisão quando = 75.
O matemático indiano Bhaskara II (século XII) usou polígonos regulares com até 384 lados para obter outra aproximação de π, calculando-a como 3,141666.
Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī) (século XV), um astrónomo persa e matemático, computou corretamente a parte fracionária de 2 até 9 dígitos sexagesimais em 1424, e traduziu isto para 16 dígitos decimais após a vírgula decimal:
o que dá 16 dígitos corretos para π após a vírgula decimal:
Ele alcançou este nível de precisão calculando o perímetro de um polígono regular com 3 × 228 lados.
Séculos XVI ao XIX Na segunda metade do século XVI, o matemático francês François Viète descobriu um produto infinito que convergia para , conhecido como a fórmula de Viète.
O matemático germano-holandês Ludolph van Ceulen (circa 1600) computou as primeiras 35 casas decimais de com um polígono de 262 lados. Ele orgulhava-se tanto deste feito que as mandou inscrever na sua lápide.
Em Cyclometricus (1621), Willebrord Snellius demonstrou que o perímetro do polígono inscrito converge para a circunferência duas vezes mais rápido do que o perímetro do polígono circunscrito correspondente. Isto foi provado por Christiaan Huygens em 1654. Snellius foi capaz de obter sete dígitos de a partir de um polígono de 96 lados.
Em 1656, John Wallis publicou o produto de Wallis:
Em 1706, John Machin usou a série de Gregory (a série de Taylor para o arco-tangente) e a identidade para calcular 100 dígitos de .Reimpresso em Em 1719, Thomas de Lagny usou uma identidade semelhante para calcular 127 dígitos (dos quais 112 estavam corretos). Em 1789, o matemático esloveno Jurij Vega melhorou a fórmula de John Machin para calcular os primeiros 140 dígitos, dos quais os primeiros 126 estavam corretos. Em 1841, William Rutherford calculou 208 dígitos, dos quais os primeiros 152 estavam corretos.
A magnitude de tal precisão (152 casas decimais) pode ser colocada em contexto pelo facto de que a circunferência do maior objeto conhecido, o universo observável, pode ser calculada a partir do seu diâmetro (93mil milhões de anos-luz) para uma precisão de menos de um comprimento de Planck (a , a unidade de comprimento mais curta que se espera ser diretamente mensurável) usando expresso com apenas 62 casas decimais.
O matemático amador inglês William Shanks calculou até 530 casas decimais em janeiro de 1853, das quais as primeiras 527 estavam corretas (as últimas possivelmente incorretas devido a erros de arredondamento). Ele subsequentemente expandiu o seu cálculo para 607 casas decimais em abril de 1853, mas um erro introduzido logo na 530.ª casa decimal tornou o resto do seu cálculo incorreto; devido à natureza da fórmula de Machin, o erro propagou-se de volta para a 528.ª casa decimal, deixando novamente apenas os primeiros 527 dígitos corretos. Vinte anos depois, Shanks expandiu o seu cálculo para 707 casas decimais em abril de 1873. Devido a isto ser uma expansão do seu cálculo anterior, a maioria dos novos dígitos também estava incorreta. Dizia-se que Shanks calculava novos dígitos durante toda a manhã e passava toda a tarde verificando o trabalho matinal. Esta foi a maior expansão de até ao advento do computador digital eletrônico três quartos de século mais tarde.
Séculos XX e XXI
Em 1910, o matemático indiano Srinivasa Ramanujan encontrou várias séries infinitas de de rápida convergência, incluindo
que computa mais oito casas decimais de a cada termo da série. As suas séries são agora a base para os algoritmos mais rápidos atualmente usados para calcular . Avaliar apenas o primeiro termo produz um valor correto até sete casas decimais:
Ver Série de Ramanujan-Sato.
A partir de meados do século XX, todas as melhorias no cálculo de foram feitas com a ajuda de calculadoras ou computadores.
Em 1944−45, D. F. Ferguson, com a ajuda de uma calculadora mecânica de mesa, descobriu que William Shanks havia cometido um erro na 528.ª casa decimal, e que todos os dígitos subsequentes estavam incorretos.Ferguson 1946a, Nos primeiros anos do computador, uma expansão de até casas decimais foi computada pelo matemático de Maryland Daniel Shanks (sem parentesco com o supramencionado William Shanks) e a sua equipa no Laboratório de Pesquisa Naval dos Estados Unidos em Washington, D.C. Em 1961, Shanks e a sua equipa usaram duas séries de potências diferentes para calcular os dígitos de . Para uma delas, sabia-se que qualquer erro produziria um valor ligeiramente alto, e para a outra, sabia-se que qualquer erro produziria um valor ligeiramente baixo. E assim, desde que as duas séries produzissem os mesmos dígitos, havia uma confiança muito alta de que estavam corretos. Os primeiros 100 265 dígitos de foram publicados em 1962. Os autores delinearam o que seria necessário para calcular até 1 milhão de casas decimais e concluíram que a tarefa ia além da tecnologia da época, mas seria possível em cinco a sete anos.
Em 1989, os irmãos Chudnovsky computaram até mais de 1 bilhão de casas decimais no supercomputador IBM 3090 usando a seguinte variação da série infinita de Ramanujan para :