Em matemática, na área da análise complexa, o teorema de Nachbin (em homenagem a Leopoldo Nachbin) é um resultado usado para estabelecer limites sobre as taxas de crescimento de funções analíticas. Em particular, o teorema de Nachbin pode ser usado para fornecer o domínio de convergência da transformada de Borel generalizada, também chamada de soma de Nachbin.

Este artigo fornece uma breve revisão das taxas de crescimento, incluindo a ideia de uma função de tipo exponencial. A classificação das taxas de crescimento com base no tipo ajuda a fornecer uma ferramenta mais refinada do que a grande O ou a notação de Landau, uma vez que vários teoremas sobre a estrutura analítica da função limitada e suas transformadas integrais podem ser enunciados.

Tipo exponencial

Uma função definida no plano complexo é dita de tipo exponencial se existem constantes e tais que

no limite . Aqui, a variável complexa foi escrita como para enfatizar que o limite deve valer em todas as direções . Tomando como o ínfimo de todos tais , diz-se então que a função é de tipo exponencial .

Por exemplo, seja . Então diz-se que é de tipo exponencial , uma vez que é o menor número que limita o crescimento de ao longo do eixo imaginário. Assim, para este exemplo, o teorema de Carlson não pode ser aplicado, pois exige funções de tipo exponencial menor que .

Tipo Ψ Tipos adicionais de funções podem ser definidos para outras funções limitantes além da função exponencial. Em geral, uma função é uma função de comparação se ela possui uma série

com para todo , e

As funções de comparação são necessariamente inteiras, o que segue do teste da razão. Se é uma tal função de comparação, então diz-se que é de tipo se existem constantes e tais que

quando . Se é o ínfimo de todos tais , diz-se que é de tipo .

O teorema de Nachbin afirma que uma função com a série

é de tipo se e somente se

Isto está naturalmente conectado ao teste da raiz e pode ser considerado um parente do teorema de Cauchy–Hadamard.

Transformada de Borel generalizada O teorema de Nachbin tem aplicações imediatas em situações semelhantes ao teorema de Cauchy e para transformadas integrais. Por exemplo, a transformada de Borel generalizada. é dada por

Se é de tipo , então o exterior do domínio de convergência de , e todas as suas singularidades, estão contidos no disco

Além disso, tem-se

onde o contorno de integração circunda o disco . Isto generaliza a transformada de Borel usual para funções de tipo exponencial, onde . A forma integral para a transformada de Borel generalizada também segue. Seja uma função cuja primeira derivada é limitada no intervalo e que satisfaz a equação definidora

onde . Então a forma integral da transformada de Borel generalizada é

A transformada de Borel ordinária é recuperada definindo . Observe que a forma integral da transformada de Borel é a transformada de Laplace.

Soma de Nachbin A soma de Nachbin pode ser usada para somar séries divergentes que a soma de Borel não consegue, por exemplo, para resolver assintoticamente equações integrais da forma:

onde , pode ou não ser de tipo exponencial, e o núcleo possui uma transformada de Mellin. A solução pode ser obtida usando a soma de Nachbin como com os provenientes de e com sendo a transformada de Mellin de . Um exemplo disso é a série de Gram

Em alguns casos, como condição adicional, exigimos que seja finito e não nulo para

Espaço de Fréchet Coleções de funções de tipo exponencial podem formar um espaço completo uniforme, a saber, um espaço de Fréchet, pela topologia induzida pela família enumerável de normas

Ver também Série divergente Soma de Borel Soma de Euler Soma de Cesàro Princípio de Phragmén–Lindelöf Teoremas abeliano e tauberiano

Referências

Bibliografia L. Nachbin, "An extension of the notion of integral functions of the finite exponential type", Anais Acad. Brasil. Ciencias. 16 (1944) 143–147. Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263. (Provides a statement and proof of Nachbin's theorem, as well as a general review of this topic.)

Garcia J. Borel Resummation & the Solution of Integral Equations Prespacetime Journal nº 4 Vol 4. 2013 http://prespacetime.com/index.php/pst/issue/view/42/showToc (Fornece uma declaração e prova do teorema de Nachbin, bem como uma revisão geral deste tópico.)

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