thumb|De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos conexos, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é desconexo. Para além disso, A e B são também simplesmente conexos (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.
Em topologia, é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.
Definição
Uma cisão de um espaço topológico é uma decomposição em dois abertos disjuntos. Todo espaço admite sempre a cisão trivial em que e . Um espaço topológico chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.
Equivalências
Os subconjuntos e são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de . Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então é conexo. Por outro lado, se existe não-vazio aberto e fechado em , então é desconexo.
Exemplos e são conexos, enquanto e são desconexos. Em , os únicos subconjuntos conexos são os intervalos. é desconexo pois possui a cisão não-trivial .
Propriedades
A imagem de um espaço conexo por uma aplicação contínua é conexa. Em particular, todo espaço homeomorfo a um espaço conexo é também conexo. A união de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa. O produto cartesiano de dois espaços, equipado com a topologia produto, é conexo se, e somente se, ambos são conexos. O fecho de um conjunto conexo é conexo.
Componentes conexas Mesmo que um espaço não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.
A componente conexa é o maior subconjunto conexo que contém . Para quaisquer dois pontos de , suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.
Por exemplo, para , a componente conexa de é e a componente conexa de é . No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.
Propriedades
Toda componente conexa de é um conjunto fechado em . Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um e as componentes conexas do outro. Sendo assim, dois espaços homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas, ou seja, a quantidade de componentes conexas de um espaço é um invariante topológico.
Conexo por caminhos thumb|Um espaço conexo por caminhos thumb|Um espaço conexo que não é conexo por caminhos. Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.
Um caminho num conjunto é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de . Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho tal que esses pontos estejam na imagem de . Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.
Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa. Por exemplo, no o gráfico da função para com a origem é conexo mas não é conexo por caminhos.
Propriedades
A união de dois conjuntos conexos por caminhos, de interseção não-vazia, é conexa por caminhos. A topologia produto de dois conjuntos conexos por caminhos é conexa por caminhos. Todo conjunto convexo é conexo por caminhos. No , um conjunto aberto é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos.
Ver também Conexidade simples
Bibliografia
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Categoria:Topologia (matemática)