thumb|250px|Uma bola em é o espaço interior a uma esfera
Em matemática, uma bola é o espaço interior a uma esfera. Ela pode ser tanto uma bola fechada (incluindo os pontos de fronteira) ou pode ser uma bola aberta (excluindo-os).
Estes conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional mas também em dimensões menores e maiores, e para espaços métricos em geral. Uma bola no plano euclidiano, por exemplo, é a mesma coisa que um círculo, a área limitada por uma circunferência.
Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.
Bolas em espaços métricos Num espaço métrico , a bola aberta de raio centrada num ponto é o conjunto de pontos cuja distância a é inferior a , isto é, ;
A bola fechada de raio centrada num ponto é o conjunto de pontos à distância de não superior a , isto é, .
Ou seja, a diferença entre a bola aberta e a fechada é que na fechada os pontos de fronteira estão incluídos. Exemplos frame|right|Exemplos de bolas em nas normas , e Em , uma bola é um intervalo. Em , uma bola é um círculo. Também se utiliza o termo "disco" neste caso.SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 11 Em , uma bola é o espaço interior a uma esfera. Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r. Em com a métrica , uma bola é um quadrado. Em com a métrica , uma bola é um losango. Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.
Propriedades Em qualquer espaço métrico , Toda bola aberta é um aberto de X. Toda bola fechada é um fechado de X. Um subconjunto é limitado se, e somente se, está contido em alguma bola.
No com qualquer norma, todas bolas são convexas, sejam abertas ou fechadas.
Esferas e Bolas Unitárias no espaço Euclidiano
No Espaço Euclidiano n dimensional, a esfera unitária é um conjunto de pontos que satisfaz a equação
e a bola fechada unitária é o conjunto de pontos que satisfaz a inequação
Fórmulas de área e volume
O volume de uma bola unitária n-dimensional no Espaço euclideano, que denotamos Vn, pode ser expressa em termos da função gama por
onde n!! é o duplo fatorial.
A hipervolume da esfera unitária (n–1)-dimensional (i.e., a "área" da superfície de uma bola n-dimensional), que denotamos por An, pode ser expressa da forma
onde a última igualdade vale para n > 0.
As áreas de superfícies e os volumes para alguns valores de n são dados abaixo:
(área da superfície) (volume) 0 0 1 1 2 2 2 6.283 3.141 3 12.57 4.189 4 19.74 4.935 5 26.32 5.264 6 31.01 5.168 7 33.07 4.725 8 32.47 4.059 9 29.69 3.299 10 25.50 2.550 onde os decimais para n ≥ 2 são arredondados na precisão que são apresentados.
Recursão
Os valores de An satisfazem a recursão:
para .
Os valores de Vn satisfazem a recursão:
para .
Dimensão Fracional
As fórmulas para An e Vn podem ser calculadas para qualquer real n ≥ 0.
right|thumb|200px|hipervolume da esféra (x–1)-dimensional (isto é, a "área" da superfície da bola unitária x-dimensional) como uma função contínua de x none|thumb|200px|Volume da Bola em x- dimensional como uma função contínua de x
Outros raios
A área da superfície de uma esfera (n–1)-dimensional com raio r é An rn−1 e o volume de uma bola n-dimensional com raio r é Vn rn. Particularmente, a área é para a superfície de uma bola tridimensional de raio r. O Volume é para a bola tridimensional de raio r.
Bibliografia
Categoria:Topologia (matemática)