O Último Teorema de Fermat afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaçaNASAR, Sylvia, Uma Mente Brilhante, 1.ed. Rio de Janeiro: Record, 2002.

Durante os Séculos XVIII, XIX e início do Século XX, vários matemáticos brilhantes tentaram solucionar o Último Teorema de Fermat, embora esses esforços tenham terminado em fracasso, eles levaram à criação do maravilhoso arsenal de ferramentas e técnicas matemáticas que foram vitais para as últimas tentativas de se conseguir uma demonstração.

Foram aproximadamente 358 anos de tentativas de solucionar ou provar a incoerência do problema. Dentre os grandes matemáticos que tentaram solucionar o problema ao longo dos tempos, podemos mencionar: Leonhard Euler, Dirichlet (1828), Legendre (1830), Gabriel Lamé (1839), Sophie Germain, Ernst Kummer e mais recentemente, Wagstaff (1980).

Em 1995, 358 anos após sua formulação, a Prova matemática foi finalmente encontrada pelo matemático britânico Andrew Wiles - com a ajuda de Richard Taylor). Por conta disso, o Último Teorema de Fermat passou a ser conhecido como o mais famoso e duradouro teorema matemático de seu tempo. Por ter sido provado matematicamente por Andrew Wiles, este teorema passou a ser chamado também por Teorema de Fermat-Wiles.

Resolução por Pierre de Fermat Analisando observações sobre o Teorema de Pitágoras, Pierre de Fermat observa a equação  x² +y² = z². Ao tentar substituir o expoente "2" pelo número "3", nota que não há solução. Prosseguiu substituindo o número que representava a potência por números maiores que 3, e continuou sem obter solução. Com isso, chegou a uma equação generalizada, em que n representa os números 3, 4, 5, ...que também não possuíam solução.

Fermat então escreveu:

"É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente”.

Possivelmente, Fermat teria encontrado a solução para a proposição, pois este teria divulgado a seguinte nota:

“Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro”.

Fermat relatou ter desenvolvido um teorema para provar essa hipótese, mas nunca o publicou.g1.globo.com/ Matemático que solucionou problema de 357 anos recebe o prêmio Abel Assim, esta conjectura ficou por demonstrar e constituiu um verdadeiro desafio para os matemáticos ao longo dos tempos, apesar de parecer simples e o enunciado ser fácil de entender. Apesar da solução para este teorema ter sido descoberta, até hoje é um mistério para a comunidade matemática de como era a demonstração original que Fermat obteve. Muitos conhecimentos matemáticos utilizados para a demonstração moderna não existiam naquela época, colocando até em dúvida se Fermat realmente conseguiu fazer tal feito.

Os métodos usados ​​por Andrew Wiles eram de fato desconhecidos quando Fermat escreveu e parece extremamente improvável que Fermat tenha conseguido obter toda a matemática necessária para demonstrar uma solução. O próprio Wiles disse "é impossível, esta é uma demonstração do Século XX".

Então, ou há uma prova mais simples que os matemáticos ainda não encontraram, ou Fermat simplesmente estava errado ao afirmar que havia encontrado uma solução para este Teorema. Por essa razão, várias provas incorretas, mas a princípio plausíveis, que estavam ao alcance de Fermat são particularmente interessantes. A mais conhecida baseia-se na suposição errônea da singularidade da decomposição em factores primos funções em todos os anéis dos elementos integrais dos campos em números algébricas (para maiores explicações, ver Domínio fatorial).

Esta é uma explicação aceitável para muitos especialistas em teoria dos números, considerando também que muitos dos principais matemáticos que trabalharam no problema seguiram esse caminho e às vezes até acreditavam sinceramente que haviam demonstrado o teorema, apenas para depois admitir que falharam.

Resolução por Andrew Wiles A solução do matemático britânico Andrew Wiles para o Último Teorema de Fermat é uma prova de um caso especial do Teorema da Modularidade para curvas elípticas. Este, juntamente com o Teorema de Ribet, fornece uma prova para o Último Teorema de Fermat. Tanto o Último Teorema de Fermat quanto o Teorema da Modularidade eram quase universalmente considerados inacessíveis à prova pelos matemáticos contemporâneos, o que significa que se acreditava que era impossível provar usando o conhecimento atual.Fermat's Last Theorem, Simon Singh, 1997,

Wiles usou a técnica da Prova por contradição, na qual se assume o oposto do que deve ser provado e, se isso fosse verdade, criaria uma contradição. A contradição mostra que a suposição estava incorreta, o que acabou por provar o Último Teorema de Fermat.

Após 7 anos dedicando-se ao problema, Wiles anunciou pela primeira vez sua prova na quarta-feira, 23 de junho de 1993, numa palestra em Cambridge intitulada "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". No entanto, em setembro de 1993, foi encontrado um erro na prova.folha.uol.com.br/ Erro desfaz prova do último teorema de Fermat Um ano depois, na segunda-feira, 19 de setembro de 1994, no que ele chamaria de "o momento mais importante de sua vida profissional", Wiles descobriu uma revelação que lhe permitia corrigir a prova para a satisfação da comunidade matemática. A prova corrigida foi publicada em 1995.folha.uol.com.br/ Último teorema de Fermat levou 350 anos para ser demonstrado

A prova de Wiles usa muitas técnicas da geometria algébrica e teoria dos números, e tem muitas ramificações nesses ramos da matemática. Ele também usa construções padrão da geometria algébrica moderna, como a categoria de esquemas e a Teoria de Iwasawa, e outras técnicas do Século XX que não estavam disponíveis para Fermat.

Juntos, os dois artigos que contêm a prova matemática têm 129 páginas, e consumiram mais de sete anos do tempo de pesquisa de Wiles. John Coates descreveu a prova como "uma das maiores realizações da teoria dos números", e John Conway chamou isso de "a solução matemática do século". O caminho de Wiles para provar o Último Teorema de Fermat, através da demonstração do teorema da modularidade para o caso especial de curvas semi-elípticas, estabeleceu técnicas poderosas de levantamento de modularidade e abriu novas abordagens para vários outros problemas. Para resolver o Último Teorema de Fermat, ele foi condecorado e recebeu outras honras como o Prêmio Abel de 2016. Ao anunciar que Wiles ganhou o Prêmio Abel, a Academia Norueguesa de Ciências e Letras descreveu sua conquista como uma "prova impressionante".

Conjectura de Shimura-Taniyama

Separadamente de qualquer coisa relacionada ao Ultimo Teorema de Fermat, nos anos 1950 e 1960, o matemático japonês Goro Shimura, baseando-se em idéias propostas por Yutaka Taniyama, conjeturou que uma conexão poderia existir entre curvas elípticas e formas modulares. Estes eram objetos matemáticos sem conexão conhecida entre eles. Taniyama e Shimura colocaram a questão se, desconhecidos pelos matemáticos, os dois tipos de objetos eram na verdade objetos matemáticos idênticos, vistos apenas de maneiras diferentes.

Eles conjeturaram que toda curva elíptica racional também é modular. Isso ficou conhecido como a "Conjectura de Taniyama-Shimura". No Ocidente, essa conjectura tornou-se bem conhecida através de um artigo de 1967 de André Weil, que deu evidências conceituais a respeito; assim, às vezes, é chamada de "Conjectura de Taniyama-Shimura-Weil".

Por volta de 1980, muitas evidências haviam sido acumuladas para formar conjecturas sobre curvas elípticas, e muitos trabalhos haviam sido escritos examinando as consequências se a conjetura fosse verdadeira, mas a própria conjuntura real não foi provada e geralmente considerada inacessível - significando que matemáticos acreditavam em uma prova da conjectura foi provavelmente impossível usando conhecimentos atuais.

Durante décadas, a conjectura continuou sendo um problema importante, mas não resolvido, na matemática. Cerca de 50 anos após a primeira proposta, a conjetura foi finalmente comprovada e renomeada como Teorema da Modularidade, em grande parte como resultado do trabalho de Andrew Wiles descrito abaixo.

Curva de Frey Em outro ramo separado do desenvolvimento, no final dos anos 1960, Yves Hellegouarch surgiu com a ideia de associar soluções (a, b, c) da equação de Fermat com um objeto matemático completamente diferente: uma curva elíptica. Tal curva consiste em todos os pontos no plano cujas coordenadas (x, y) satisfazem a relação

Tal curva elíptica gozaria de propriedades muito especiais, que são devidas ao aparecimento de altas potências de inteiros em sua equação e ao fato de que an + bn = cn também é uma enésima potência.

Em 1982-1985, Gerhard Frey chamou a atenção para as propriedades incomuns dessa mesma curva, agora chamada de curva de Frey. Ele mostrou que era provável que a curva pudesse ligar Fermat e Taniyama, já que qualquer contraexemplo do Último Teorema de Fermat provavelmente implicaria também que existia uma curva elíptica que não era modular.

Em linguagem simples, Frey havia mostrado que havia boas razões para acreditar que qualquer conjunto de números (a, b, c, n) capazes de refutar o Último Teorema de Fermat, também poderia (provavelmente) ser usado para refutar a Conjectura de Taniyama-Shimura. Portanto, se a Conjectura de Taniyama-Shimura fosse verdadeira, nenhum conjunto de números capazes de refutar o Último Teorema de Fermat poderia existir, então o Último Teorema de Fermat teria que ser verdadeiro também.

(Matematicamente, a tal Conjectura diz que cada curva elíptica com coeficientes racionais pode ser construída de uma maneira totalmente diferente, não dando sua equação, mas usando funções modulares para parametrizar coordenadas xey dos pontos nela. Assim, de acordo com a conjectura , qualquer curva elíptica sobre Q teria que ser uma curva elíptica modular, mas se houvesse uma solução para a equação de Fermat com não-zero a, b, c e n maior que 2, a curva correspondente não seria modular, resultando em uma contradição).

Se o elo identificado por Frey pudesse ser provado, então, por sua vez, isso significaria que uma prova ou refutação de qualquer um deles - Último Teorema de Fermat ou a Conjectura de Taniyama-Shimura simultaneamente provaria ou negaria o outro.Singh, pp. 194–198; Aczel, pp. 109–114.

Teorema de Ribet Para fazer o elo entre as 2 propostas, foi necessário mostrar que a intuição de Frey estava correta: ou seja, que uma curva de Frey, se existisse, não poderia ser modular.

Em 1985, Jean-Pierre Serre forneceu uma prova parcial de que uma curva de Frey não poderia ser modular. Serre não forneceu uma prova completa de sua proposta; a parte que faltava (que Serre havia notado desde o inícioG. Cornell, J. H. Silverman and G. Stevens, Modular forms and Fermat's Last Theorem, ) ficou conhecida como Conjectura Épsilon ou "Conjectura ε" (atualmente conhecida como Teorema de Ribet). O principal interesse de Serre era uma conjectura ainda mais ambiciosa, a conjectura de Serre sobre as representações modulares de Galois, o que implicaria a Conjectura de Taniyama-Shimura. No entanto, sua prova parcial chegou perto de confirmar a ligação entre Fermat e Taniyama.

No verão de 1986, Ken Ribet conseguiu provar a Conjectura Épsilon, que então passou a ser chamada como Teorema de Ribet. Seu artigo foi publicado em 1990. Ao fazê-lo, Ribet finalmente provou a ligação entre os dois teoremas confirmando, como Frey havia sugerido, que uma prova da Conjectura de Taniyama-Shimura para os tipos de curvas elípticas que Frey havia identificado, junto com Teorema de Ribet, também provaria o Último Teorema de Fermat: