Na matemática, uma categoria é um conceito similar a um grafo direcionado, incluindo setas entre objetos, entre elas havendo identidades e uma operação de composição, com propriedades análogas à composição de funções.
A teoria das categorias é o estudo de propriedades e classificações de categorias e conceitos relacionados. Ela provê uma linguagem que simplifica conceitos e demonstrações em várias áreas de matemática, possibilitando delinear e separar os resultados gerais dos que se aplicam a uma área específica.
Categorias foram introduzidas por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane com o objetivo de dar um significado rigoroso ao conceito de "canônico" ou "natural".
Definição Uma categoria consiste nos seguintes elementos: Uma coleçãoEmprega-se o termo coleção, em vez de classe ou conjunto, para eximir, em primeiro contato, o leitor de preocupações com a lógica ou a teoria dos conjuntos. Ver, porém, a seção Categorias pequenas e grandes. de objetos, coleção esta denotada por ou, simplesmente, . Para cada dupla de objetos, uma coleção de triplas , chamadas setas (ou morfismos) do domínio (ou origem) até o contradomínio (ou destino) , para as quais são usadas as notações , , (ou brevemente ), , ou . Para cada objeto , uma seta de até , chamada identidade, e denotada por ou . Para cada tripla de objetos , uma operação de composição, levando cada seta e cada seta a uma seta . Devem ser satisfeitas as igualdades: (Lei da identidade) Para todos objetos e todas as setas , . (Associatividade) Para todos objetos e todas as setas , e , .
Categorias definidas têm, comumente, nome escrito em negrito, como , ou sem serifas, como . Nota-se que, como definido acima, a menos que e .
Exemplos de categorias A categoria dos conjuntos, denotada por (inglês set) ou por (francês ensemble), tem como coleção de objetos a coleção de conjuntos pequenos, e, para cada dois objetos seus, as setas serão precisamente as funções de a (etiquetadas com seu domínio e contradomínio), sendo que a identidade e a composição correspondem às funções identidades e à composição de funções, respectivamente. A categoria dos grupos, denotada por , tem como coleção de objetos a coleção de grupos para os quais é conjunto pequeno, e as suas setas correspondem aos homomorfismos de grupos. De maneira similar, há a categoria dos monoides , dos grupos abelianos , dos anéis , dos módulos etc. A categoria dos espaços topológicos, denotada por , tem como objetos os espaços topológicos para os quais é conjunto pequeno, e as suas setas correspondem às funções contínuas. Para cada monoide , há uma categoria , com um único objeto, e cujas setas correspondem biunivocamente aos elementos de , com seta identidade sendo o elemento neutro de , e composição dada pela operação . Para cada pré-ordem , há uma categoria, cujos objetos são elementos de , e tal que, para objetos , há exatamente um morfismo se , e nenhum se . A existência de identidades vem de que , e a existência de composições segue da transitividade. Para cada conjunto , há uma categoria discreta, cujos objetos são precisamente os elementos de , e na qual os únicos morfismos são as identidades. Para cada grafo , há a categoria livre, cujos objetos são os vértices em , e, dados objetos , os morfismos correspondem precisamente aos caminhos formados pelas arestas em , iniciando em e terminando em ; as identidades correspondem a caminhos de zero arestas, e as composições correspondem a concatenações de caminhos.
Categorias pequenas e grandes Na teoria de conjuntos (mais precisamente axiomas de Zermelo-Fraenkel), não há conjunto incluindo todos os conjuntos. Similarmente, não há categoria incluindo todos os conjuntos (ou grupos, espaços topológicos etc.): "Our foundation […] does not provide sets to represent certain metacategories, such as the metacategory of all sets or that of all groups." Isso pode ser resolvido, usando universos de Grothendieck. Dado universo, chame um conjunto de (-)pequeno se ele for membro de . Então, será a categoria dos conjuntos pequenos. Dado o axioma de universos, temos uma sequência:
em que são universos.
Uma categoria é (-)pequena quando o conjunto de objetos e todos os conjuntos de setas são (-)pequenos. Notar que é assim uma categoria -grande.
Na prática, o prefixo "-" é omitido.
Esta, porém, não é a única forma de resolver esse problemas lógicos. Adámek, Herrlich e Strecker, por exemplo, supõem somente a existência de conjuntos, classes e conglomerados (que correspondem, respectivamente, a elementos de um universo, subcoleções do universo e coleções de subcoleções do universo); nesse contexto, os são sempre conjuntos (não podem ser classes quaisquer), e uma categoria pequena é definida como uma categoria cuja coleção de objetos é um conjunto.
Categoria oposta Para cada categoria , temos a categoria oposta (ou dual) , obtida invertendo a direção das setas de . Mais precisamente, tem os mesmos objetos que , e cada morfismo em é denotado por para exatamente um morfismo ; identidades são , e composição é definida por
para setas de domínio e contradomínio adequados.
A cada teorema do formato "para toda categoria , é verdade", há o costume de expressar o caso particular "" sem envolver a definição de categoria oposta (por exemplo, trocando "domínio" com "contradomínio", "monomorfismo" com "epimorfismo" etc.). Isso pode deixar mais fácil de encontrar demonstrações de outros resultados.: "For more complicated theorems, the duality principle is a handy way to have (at once) the dual theorem. No proof of the dual theorem need be given. We usually leave even the formulation of the dual theorem to the reader."
Produto de categorias A categoria das categorias pequenas (e functores como morfismos) tem produtos binários. Eis uma construção explícita. Dadas categorias , os objetos de são as duplas , com objeto de e objeto de , e os morfismos são as duplas de morfismos e . A identidade de é , e composições são dadas por:
Tipos de morfismos Um morfismo numa categoria é chamado: um monomorfismo quando é cancelável à esquerda, isto é, para todo objeto e morfismos satisfazendo , vale . um epimorfismo quando é cancelável à direita, isto é, para todo objeto e morfismos satisfazendo , vale . um bimorfismo quando é um monomorfismo e um epimorfismo. uma seção quando é um inverso direito, isto é, existe tal que . uma retração quando é um inverso esquerdo, isto é, existe tal que . um endomorfismo quando . um isomorfismo quando é um inverso, isto é, existe tal que e . um automorfismo quando é um isomorfismo e um endomorfismo. um idempotente quando e . um idempotente que cinde quando e há objeto e morfismos e tais que e .
Ligações externas Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani
Bibliografia
Categoria:Teoria das categorias