Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, uma transformação natural entre functores paralelos é uma coleção de morfismos satisfazendo certas condições. O conceito pode ser usado para dar um significado rigoroso a expressões como "natural" e "canônico".

Definição Se são functores entre categorias e , uma transformação natural é uma família de morfismos para cada objeto de , chamados componentes, satisfazendo, para cada morfismo em a condição de naturalidade:

Pode-se expressar essa igualdade como o diagrama comutativo:

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Quando isso vale, diz-se que é natural em ; essa expressão deixa implícita a ação dos functores nos morfismos da categoria . As notações e também são usadas.

Um isomorfismo natural é uma transformação natural cujas componentes são isomorfismos.

Categorias de functores Dadas categorias , temos a categoria dos functores , cujos objetos são os functores , e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.

Composições vertical e horizontal A composição de morfismos em é chamada composição vertical; dadas transformações naturais , , temos que tem componentes

Também há a composição horizontal; dadas transformações naturais , , temos que tem componentes

A segunda igualdade acima é consequência da condição de naturalidade.

Há seguinte relação entre os dois tipos de composição: .

Exemplos Há morfismo natural de cada espaço vetorial (sobre um corpo qualquer) ao espaço dual de seu dual. Mais precisamente, os mapeamentos , para cada espaço vetorial , definidos por , formam uma transformação natural ; a condição de naturalidade refere-se à igualdadepara cada mapeamento linear , onde . A única transformação natural , em que é o functor na categoria dos espaços vetoriais definido porem que denota o produto tensorial, é aquela cujas componentes são os mapeamentos nulos. Intuitivamente, qualquer definição de mapeamento linear não nulo "depende" de um base para , logo não pode ser feita naturalmente para todos os espaços vetoriais. Avaliação de funções em elementos de um conjunto fixo é uma transformação natural. Mais precisamente, denotando-se por o conjunto de funções , as avaliações , para cada conjunto, definidas por , formam uma transformação natural . O teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani pode ser expressado como um isomorfismo natural entre functores levando espaços compactos de Hausdorff a espaços de Banach.

Bibliografia

Categoria:Teoria das categorias