Na teoria da medida e na análise funcional, o teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani, também conhecido por teorema da representação de Riesz ou de Riesz–Markov, enuncia condições sob as quais um funcional linear num subespaço de , que é o espaço das funções complexas contínuas em , é da forma , isto é, é dado por integração em relação a uma medida positiva ou complexa .

O teorema recebe o nome de Frigyes Riesz, que analisou em 1909 o caso , de Andrei Markov Júnior, que analisou em 1938 para normal, e de Shizuo Kakutani, que analisou em 1941 para compacto de Hausdorff.

Enunciado Nesta seção, denota espaço localmente compacto de Hausdorff qualquer.

Denota-se por o espaço vetorial complexo das funções contínuas de suporte compacto, normado por . Um funcional linear é dito ser positivo quando para cada tal que para cada .

Uma medida (positiva ou complexa) é dita ser medida de Borel em quando é definida numa σ-álgebra contendo a σ-álgebra de Borel de . Uma medida positiva de Borel em é dita: ser regular exterior em quando ser regular interior em quando ser finita em compactos quando para cada compacto .

Uma medida positiva de Borel é dita ser regular quando é simultaneamente regular exterior e regular interior em cada subconjunto de Borel de . Uma medida complexa de Borel é dita ser regular quando a medida de variação total é medida positiva regular.

O teorema da representação de Riesz para medidas positivas diz quedefine bijeçãoEntende-se que duas medidas de Borel definidas em σ-álgebras potencialmente diferentes são iguais quando coincidem na sub-σ-álgebra de Borel. entre o conjunto das medidas positivas de Borel em tais que é finita em compactos, regular exterior em cada subconjunto de Borel de , regular interior em cada tal que é aberto ou , e o conjunto dos funcionais lineares positivos em .

O teorema da representação de Riesz para medidas complexas diz quedefine bijeção entre o conjunto das medidas complexas de Borel regulares em e o conjunto dos funcionais lineares contínuos em , e, adicionalmente, esta bijeção é uma isometria no aspecto queem que o lado direito denota a norma de funcional linear.

Algumas notas: Denota-se por o espaço das funções contínuas que se anulam no infinito, isto é, tais que, para cada , há compacto tal que sempre que . Então, como é a completação de , o teorema da representação de Riesz para medidas complexas pode ser equivalentemente enunciado para no lugar de . Não exigindo as condições de regularidade exterior ou interior, duas medidas diferentes podem induzir um mesmo funcional linear positivo. Quando todo aberto de é união enumerável de compactos, toda medida positiva de Borel em que é finita em compactos é automaticamente regular.

Exemplos Sendo ,em que é o conjunto dos pontos cujas coordenadas são múltiplas inteiras de , define funcional linear positivo, logo há única medida positiva regular tal quepara cada . Esta é a medida de Lebesgue em dimensões. (Exige conhecimentos de álgebras de Banach.) Denote por a medida de Lebesgue restrita a subconjuntos de , e seja o espaço de ideais maximais da álgebra de Banach (ver espaços Lp), isto é, o conjunto das funções lineares multiplicativas não nulas , cuja topologia é de convergência pontual. Pode-se mostrar que a transformada de Gelfand é uma isometria de a , logo existe única medida regular em tal quepara cada ; também, é medida positiva. O espaço de medida resultante satisfaz algumas propriedades incomuns; por exemplo, para toda função limitada de Borel existe função contínua tal que .

Bibliografia

Categoria:Teoria da medida Categoria:Análise funcional