miniaturadaimagem| Coordenadas curvilíneas (topo), afins (direita) e cartesianas (esquerda) no espaço bidimensional Em geometria, as coordenadas curvilíneas são um sistema de coordenadas para o espaço euclidiano no qual as linhas de coordenadas podem ser curvas. Essas coordenadas podem ser derivadas de um conjunto de coordenadas cartesianas usando uma transformação que é localmente invertível (um mapa um-para-um) em cada ponto. Isso significa que se pode converter um ponto dado em um sistema de coordenadas cartesianas em suas coordenadas curvilíneas e vice-versa. O nome coordenadas curvilíneas, cunhado pelo matemático francês Lamé, deriva do fato de que as superfícies de coordenadas dos sistemas curvilíneos são curvas.
Exemplos bem conhecidos de sistemas de coordenadas curvilíneas no espaço euclidiano tridimensional ( R 3 ) são coordenadas polares cilíndricas e esféricas . Uma superfície de coordenadas cartesianas neste espaço é um plano de coordenadas ; por exemplo, z = 0 define o plano x - y . No mesmo espaço, a superfície coordenada r = 1 em coordenadas polares esféricas é a superfície de uma esfera unitária, que é curva. O formalismo das coordenadas curvilíneas fornece uma descrição unificada e geral dos sistemas de coordenadas padrão.
As coordenadas curvilíneas são frequentemente usadas para definir a localização ou distribuição de quantidades físicas que podem ser, por exemplo, escalares, vetores ou tensores . Expressões matemáticas envolvendo essas quantidades em cálculo vetorial e análise de tensores (como gradiente, divergência, ondulação e laplaciano ) podem ser transformadas de um sistema de coordenadas para outro, de acordo com as regras de transformação para escalares, vetores e tensores. Essas expressões tornam-se então válidas para qualquer sistema de coordenadas curvilíneas.
Um sistema de coordenadas curvilíneas pode ser mais simples de usar do que o sistema de coordenadas cartesianas para algumas aplicações. O movimento das partículas sob a influência de forças centrais é geralmente mais fácil de resolver em coordenadas polares esféricas do que em coordenadas cartesianas; isso é verdade para muitos problemas físicos com simetria esférica definida em R 3 . Equações com condições de contorno que seguem superfícies de coordenadas para um determinado sistema de coordenadas curvilíneas podem ser mais fáceis de resolver nesse sistema. Embora se possa descrever o movimento de uma partícula em uma caixa retangular usando coordenadas cartesianas, o movimento em uma esfera é mais fácil com coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas são os sistemas de coordenadas curvilíneas mais comuns e são usadas em ciências da Terra, cartografia, mecânica quântica, relatividade e engenharia .
Coordenadas curvilíneas ortogonais em 3 dimensões
Coordenadas, base e vetores miniaturadaimagem| Fig. 1 - Superfícies de coordenadas, linhas de coordenadas e eixos de coordenadas de coordenadas curvilíneas gerais. miniaturadaimagem| Fig. 2 - Superfícies de coordenadas, linhas de coordenadas e eixos de coordenadas esféricas. Superfícies: r - esferas, θ - cones, φ - semiplanos; Linhas: r - vigas retas, θ - semicírculos verticais, φ - círculos horizontais; Eixos: r - vigas retas, θ - tangentes a semicírculos verticais, φ - tangentes a círculos horizontais Por enquanto, considere o espaço 3-D . Um ponto P no espaço 3d (ou seu vetor de posição r ) pode ser definido usando coordenadas cartesianas ( x, y, z ) [escrito de forma equivalente ( x 1, x 2, x 3 )], por , onde e x, e y, e z são os vetores de base padrão .
Ele também pode ser definido por suas coordenadas curvilíneas ( q 1, q 2, q 3 ) se este tripleto de números definir um único ponto de forma inequívoca. A relação entre as coordenadas é então dada pelas funções de transformação invertíveis:
As superfícies q 1 = constante, q 2 = constante, q 3 = constante são chamadas de superfícies de coordenadas ; e as curvas espaciais formadas por sua interseção em pares são chamadas de curvas de coordenadas . Os eixos de coordenadas são determinados pelas tangentes às curvas de coordenadas na interseção de três superfícies. Em geral, elas não são direções fixas no espaço, o que acontece para as coordenadas cartesianas simples e, portanto, geralmente não há base global natural para as coordenadas curvilíneas.
No sistema cartesiano, os vetores de base padrão podem ser derivados da derivada da localização do ponto P em relação à coordenada local
A aplicação dos mesmos derivados ao sistema curvilíneo localmente no ponto P define os vetores de base natural:
Essa base, cujos vetores mudam de direção e / ou magnitude de ponto a ponto, é chamada de base local . Todas as bases associadas às coordenadas curvilíneas são necessariamente locais. Os vetores de base que são iguais em todos os pontos são bases globais e podem ser associados apenas a sistemas de coordenadas lineares ou afins .
Para este artigo, e é reservado para a base padrão (cartesiana) eh ou b é para a base curvilínea.
Eles podem não ter comprimento unitário e também não podem ser ortogonais. No caso em que são ortogonais em todos os pontos onde as derivadas são bem definidas, definimos os coeficientes de Lamé (após Gabriel Lamé ) por
e os vetores de base ortonormal curvilínea por
Esses vetores de base podem muito bem depender da posição de P ; portanto, é necessário que eles não sejam considerados constantes em uma região. (Eles formam tecnicamente uma base para o feixe tangente de em P, e assim são locais para P. )
Em geral, as coordenadas curvilíneas permitem que os vetores de base natural h i não sejam todos mutuamente perpendiculares entre si, e não precisam ter comprimento unitário: eles podem ser de magnitude e direção arbitrárias. O uso de uma base ortogonal torna as manipulações de vetores mais simples do que as não ortogonais. No entanto, algumas áreas da física e da engenharia, particularmente mecânica dos fluidos e mecânica contínua, requerem bases não ortogonais para descrever as deformações e o transporte de fluidos para explicar as dependências direcionais complicadas de quantidades físicas. Uma discussão do caso geral aparece mais tarde nesta página.
Cálculo vetorial
Elementos diferenciais, Em coordenadas curvilíneas ortogonais, uma vez que a mudança diferencial total em r é
então os fatores de escala são
Em coordenadas não ortogonais, o comprimento de é a raiz quadrada positiva de (com a convenção de soma de Einstein ). Os seis produtos escalares independentes g ij = h i . h j dos vetores de base natural generalizam os três fatores de escala definidos acima para coordenadas ortogonais. Os nove g ij são os componentes do tensor métrico, que possui apenas três componentes diferentes de zero em coordenadas ortogonais: g 11 = h 1 h 1, g 22 = h 2 h 2, g 33 = h 3 h 3 .
Bases covariantes e contra variantes miniaturadaimagem| Um vetor v ( vermelho ) representado por • uma base vetorial ( amarelo, à esquerda: e 1, e 2, e 3 ), vetores tangentes para coordenar as curvas ( preto ) e • uma base covetora ou cobase ( azul, direita: e 1, e 2, e 3 ), vetores normais para coordenar superfícies ( cinza ) em geral (não necessariamente ortogonal ) coordenadas curvilíneas ( q 1, q 2, q 3 ). A base e a cobase não coincidem, a menos que o sistema de coordenadas seja ortogonal. Gradientes espaciais, distâncias, derivadas de tempo e fatores de escala estão inter-relacionados dentro de um sistema de coordenadas por dois grupos de vetores de base:Consequentemente, um sistema de coordenadas curvilíneas geral tem dois conjuntos de vetores de base para cada ponto: { b 1, b 2, b 3 } é a base covariante e { b 1, b 2, b 3 } é a contravariante (também conhecida como recíproca) base. Os tipos de vetores de base covariante e contravariante têm direção idêntica para sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais, mas, como de costume, têm unidades invertidas entre si.
Observe a seguinte igualdade importante:
em que denota o delta de Kronecker generalizado .
Um vetor v pode ser especificado em termos de qualquer uma das bases, ou seja,
Usando a convenção de soma de Einstein, os vetores de base se relacionam aos componentes por ( pp30-32 )
e
onde g é o tensor métrico (veja abaixo).
Um vetor pode ser especificado com coordenadas covariantes (índices reduzidos, escritos v k ) ou coordenadas contravariantes (índices elevados, escritos v k ). A partir das somas de vetores acima, pode ser visto que as coordenadas contravariantes estão associadas aos vetores de base covariante, e as coordenadas covariantes estão associadas aos vetores de base contravariantes.
Uma característica chave da representação de vetores e tensores em termos de componentes indexados e vetores de base é a invariância, no sentido de que os componentes do vetor que se transformam de forma covariante (ou contravariante) são pareados com vetores de base que se transformam de forma contravariante (ou forma covariante).
Integração
Construindo uma base covariante em uma dimensão miniaturadaimagem| Fig. 3 - Transformação da base covariante local no caso de coordenadas curvilíneas gerais Considere a curva unidimensional mostrada na Fig. 3. No ponto P, tomado como origem, x é uma das coordenadas cartesianas e q 1 é uma das coordenadas curvilíneas. O vetor de base local (não unitário) é b 1 (notado h 1 acima, com b reservado para vetores de unidade) e é construído no eixo q 1 que é uma tangente a essa linha de coordenada no ponto P. O eixo q 1 e, portanto, o vetor b 1 formam um ângulo com o eixo x cartesiano e o vetor de base cartesiana e 1 .
Pode ser visto no triângulo PAB que
onde | e 1 |, | b 1 | são as magnitudes dos dois vetores básicos, ou seja, os interceptos escalares PB e PA . PA também é a projeção de b 1 no eixo x .
No entanto, este método para transformações de vetor de base usando cossenos direcionais é inaplicável a coordenadas curvilíneas pelos seguintes motivos:
Ao aumentar a distância de P, o ângulo entre a linha curva q 1 e o eixo cartesiano x cada vez mais se desvia de . Na distância PB o ângulo verdadeiro é aquele que a tangente no ponto C forma com o eixo xe o último ângulo é claramente diferente de .
Os ângulos que a linha q 1 e esse eixo formam com o eixo x tornam-se mais próximos em valor quanto mais perto alguém se move em direção ao ponto P e se tornam exatamente iguais em P.
Seja o ponto E localizado muito próximo a P, tão próximo que a distância PE é infinitesimalmente pequena. Então PE medido no eixo q 1 quase coincide com PE medido na linha q 1 . Ao mesmo tempo, a razão PD / PE ( PD sendo a projeção de PE no eixo x ) torna-se quase exatamente igual a .
Deixe que os interceptos infinitesimalmente pequenos PD e PE sejam rotulados, respectivamente, como dx e d q 1 . Então
.
Assim, os cossenos direcionais podem ser substituídos em transformações com as razões mais exatas entre interceptações de coordenadas infinitesimalmente pequenas. Conclui-se que o componente (projeção) de b 1 no eixo x é
.
Se q i = q i ( x 1, x 2, x 3 ) e x i = x i ( q 1, q 2, q 3 ) são funções suaves (continuamente diferenciáveis), as relações de transformação podem ser escritas como e . Ou seja, essas relações são derivadas parciais de coordenadas pertencentes a um sistema em relação às coordenadas pertencentes a outro sistema.
Construindo uma base covariante em três dimensões Fazendo o mesmo para as coordenadas nas outras 2 dimensões, b 1 pode ser expresso como:
Equações semelhantes são válidas para b 2 e b 3, de modo que a base padrão { e 1, e 2, e 3 } é transformada em uma base local (ordenada e normalizada ) { b 1, b 2, b 3 } pelo seguinte sistema de equações:
Por raciocínio análogo, pode-se obter a transformação inversa da base local para a base padrão:
Jacobiano da transformação Os sistemas de equações lineares acima podem ser escritos em forma de matriz usando a convenção de soma de Einstein como
.