A lei dos cossenos, referida frequentemente como teorema de al-Kashi em textos franceses, é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos. Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos e com medidas respectivamente e valem as relações:
História Os livros de Os Elementos de Euclides, que datam do século III a.C., contém uma aproximação geométrica da generalização do Teorema de Pitágoras. As preposições 12 e 13 do livro II tratam, separadamente, o caso de um triângulo obtusângulo e de um triângulo acutângulo. A formula da época era arcaica, uma vez que a ausência de funções trigonométricas e algébricas requiriu que a relação fosse apresentada em termos da diferença de áreas. Assim, a preposição 12 apresenta:
Sendo o triângulo, cujo ângulo obtuso está no vértice , e a altura relativa ao vértice , a preposição pode ser escrita como:
.
Com a evolução e o desenvolvimento da trigonometria árabe durante a Idade Média, o astrônomo e matemático Albatani generalizou o resultado de Euclides e a aplicou na geometria esférica, o que permitiu os cálculos da distância angular entre o Sol e a Terra.
Demonstração A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:
Forma geométrica Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos: .
right
Destes, pode-se extrair as seguintes relações:
e .
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:
e para BAD:
Substituindo:
e
em
teremos:
Entretanto, pode-se substituir a relação , do triângulo , na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
Forma vetorial Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: definimos um vetor como sendo igual a temos um triângulo formado pela soma e o resultante . Sabendo que e sendo o ângulo entre os vetores e temos o seguinte desenvolvimento: thumb|250px|Triângulo formado por vetores
A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:
Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.
Já que é o ângulo formado entre os vetores e e considerando que o ponto da origem de é o mesmo da origem de , dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor , logo formando um ângulo .
Forma matricial thumb|Lei dos Cossenos
Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:
Somando as duas equações, como , obtém-se a relação: .
Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, seriam obtidas também:
Que consistem em um sistema linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:
Matriz dos coeficientes (M):
Matriz não alterada na coluna da variável (X):
Assim, é válida a igualdade e, portanto:
e, analogamente:
Ver também Lei dos senos
Ligações externas
Categoria:Trigonometria Categoria:Teoremas em geometria plana