A Desigualdade de Aristarco é uma lei da trigonometria que afirma que se α e β são ângulos agudos (ou seja, entre 0 e um ângulo reto) e "β < α" então
Essa lei leva esse nome em homenagem ao matemático grego Aristarco de Samos, que fez tal afirmação.
Ptolomeu usou a primeira dessas desigualdades ao construir sua tabela de acordes.
Prova A prova matemática dessa lei é consequência das desigualdades mais conhecidas , e , and .
Prova da primeira desigualdade
Usando essas desigualdades, podemos primeiro provar que
Notamos primeiro que a desigualdade é equivalente a
que pode ser reescrito como
Agora queremos mostrar isso
A segunda desigualdade é simplesmente . O primeiro é verdadeiro porque
Prova da segunda desigualdade
Agora queremos mostrar a segunda desigualdade, ou seja, que:
Notamos primeiro que, devido às desigualdades iniciais, temos que:
Consequentemente, usando aquele na equação anterior (substituindo por ) obtemos:
Concluimos que
Ligações externas
Prova da primeira desigualdade Prova da segunda desigualdade
Categoria:Trigonometria Categoria:Desigualdades matemáticas