Pi

O número () é uma constante matemática que é razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, aproximadamente igual a 3,14159. Ele aparece em diversas fórmulas matemáticas e físicas. É um número irracional, que significa que não pode ser expresso como a razão de dois inteiros, embora frações como são comumente utilizadas para aproximar o seu valor. Consequentemente, sua representação decimal nunca acaba, nem entra num padrão que se repete infinitamente. Também é um número transcendente, ou seja, não é a solução de uma equação algébrica que envolva apenas uma quantidade finita de somas, produtos, potências e coeficientes inteiros. Este último fato implica que resolver o antigo problema da quadratura do círculo com régua e compasso é impossível. Os dígitos decimais de são aparentemente distribuídos aleatoriamente, mas nenhuma prova para essa conjectura foi encontrada.

Por milhares de anos, matemáticos tentaram expandir seus conhecimentos sobre , às vezes computando o seu valor a um alto nível de precisão. Civilizações antigas, incluindo os egípcios e os babilônicos, exigiam aproximações bastante precisas de para cálculos práticos. Em aproximadamente 250 a.C., o matemático grego Arquimedes criou um algoritmo para aproximar com precisão arbitrária. No século V d.C., matemáticos chineses aproximaram a sete dígitos, enquanto os matemáticos indianos fizeram uma aproximação de cinco dígitos, ambos utilizando técnicas geométricas. A primeira fórmula computacional, baseada numa série infinita, foi descoberta um milênio depois. O primeiro uso da letra π para representar a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência foi do matemático galês William Jones em 1706.Reimpresso em

A invenção do cálculo logo levou à computação de centenas de dígitos de , o suficiente para todas as computações científicas práticas. No entanto, nos séculos XX e XXI, matemáticos e cientistas da computação buscaram novas abordagens que, combinadas com o aumento da potência computacional, estenderam a representação decimal de para muitos trilhões de dígitos. Essas computações são motivados pelo desenvolvimento de algoritmos eficientes para calcular séries numéricas, bem como pela busca humana por quebrar recordes. Os extensos cálculos envolvidos também foram usados para testar supercomputadores, bem como para testar o hardware de computadores de consumidores.

Por estar relacionado à circunferência, é encontrado em muitas fórmulas de trigonometria e geometria, especialmente aquelas relacionadas a circunferências, elipses e esferas. A constante pode ser encontrada também em fórmulas de outros tópicos da ciência, como cosmologia, fractais, termodinâmica, mecânica e eletromagnetismo. Também aparece em áreas pouco relacionadas à geometria, como teoria dos números e estatística e, na análise matemática moderna, pode ser definido sem qualquer referência à geometria. A ubiquidade de faz com que seja uma das constantes matemáticas mais amplamente conhecidas dentro e fora da ciência. Vários livros dedicados a foram publicados, e cálculos de recorde dos dígitos de frequentemente resultam em manchetes de notícias.

Fundamentos Nome O símbolo utilizado pelos matemáticos para representar a razão entre o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro é a letra grega minúscula, às vezes escrito como pi. Em português, é pronunciado como . Em usos matemáticos, a letra minúscula é diferenciada de sua forma maiúscula , utilizada para denotar o produtório, análogo a como é utilizado para denotar o somatório.

A escolha do símbolo é discutida na seção § Adoção do símbolo .

Definição class=skin-invert-image|alt=Um diagrama de uma circunferência, com a largura nomeada como diâmetro, e o perímetro nomeado como comprimento da circunferência|thumb|right|O comprimento de uma circunferência é um pouco mais que três vezes o tamanho de seu diâmetro. A razão exata é chamada de é comumente definido como a razão do comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro :

A razão é constante, independente do tamanho da circunferência. Por exemplo, se uma circunferência possui o dobro do diâmetro de outra circunferência, o seu comprimento também será o dobro, preservando a razão mencionada. Esta definição de implica o uso de geometria (euclidiana) plana; por mais que a noção de circunferência possa ser estendida para qualquer geometria (não euclidiana) curva, esses não satisfazem a fórmula .

Aqui, o comprimento de uma circunferência é o comprimento do arco ao redor do perímetro da circunferência. Esta quantidade pode ser formalmente definida independentemente da geometria utilizando limites — um conceito do cálculo. Por exemplo, pode-se calcular diretamente o comprimento do arco da metade superior da circunferência unitária, dado em coordenadas cartesianas pela equação , como a integral:

Uma expressão como essa foi adotada como a definição para por Karl Weierstrass, que a definiu diretamente de uma integral em 1841.

Integração não é usualmente utilizada para a primeira definição analítica, porque, conforme Remmert explica, cálculo diferencial precede tipicamente o cálculo integral nos currículos das universidades, então é desejado uma definição para que não necessite utilizar integrais. Uma dessas definições, de Richard Baltzer e popularizado por Edmund Landau, é a seguinte: é o dobro do menor número positivo no qual seu cosseno é igual a 0. também é o menor número positivo no qual o seno é igual a zero, bem como a diferença entre duas raízes consecutivas das funções seno e cosseno. O cosseno e o seno podem ser definidos independentemente da geometria, como uma série de potências ou a solução de uma equação diferencial.

Semelhantemente, pode ser definido utilizando as propriedades da função exponencial complexa , de uma variável complexa . Como o cosseno, a função exponencial complexa pode ser definida de diversas maneiras diferentes. O conjunto de números complexos no qual é igual a um é então uma progressão aritmética (imaginária) da forma:

e há um único número real positivo com essa propriedade.

Uma variação da mesma ideia, utilizando conceitos matemáticos sofisticados de topologia e álgebra, é o seguinte teorema: há um único isomorfismo contínuo (salvo por automorfismo) do grupo de números reais sob a adição módulo inteiro (o grupo circular), no grupo multiplicativo de números complexos de módulo um. O número é definido como metade da magnitude da derivada deste homomorfismo.

Irracionalidade e normalidade é um número irracional, o que significa que não pode ser escrito como uma razão de dois números inteiros. Frações como e são usualmente utilizadas para aproximar , mas nenhuma fração comum (razão entre dois números inteiros) pode expressar seu exato valor. Visto que é irracional, ele possui um número infinito de dígitos em sua representação decimal, e não é uma dízima periódica. Há diversas provas da irracionalidade de ; elas geralmente requerem cálculo e utilizam a técnica de redução ao absurdo. O grau no qual pode ser aproximado por números racionais (chamado de medida de irracionalidade) não é precisamente conhecido; é estimado que seja maior que a medida de ou , mas menor que a medida dos números de Liouville.

Os dígitos de não aparentam possuir nenhum tipo de padrão, passando em testes de aleatoriedade estatística, incluindo o teste de normalidade; um número de comprimento infinito é dito normal quando em todas as sequências de dígitos (de comprimento qualquer) aparecem com a mesma frequência. A conjectura de que seja normal não foi provada nem refutada.

Desde a chegada dos computadores, inúmeros dígitos estiveram disponíveis para realizar análise estatística. Yasumasa Kanada realizou uma análise estatística detalhada nos dígitos decimais de , encontrando consistência na normalidade; por exemplo, a frequência dos dígitos de 0 a 9 foi submetida a testes de significância estatística, e nenhum padrão foi encontrado. Qualquer sequência aleatória de dígitos contém subsequências de comprimento arbitrário que parecem não aleatórias, pelo teorema do macaco infinito. Portanto, porque a sequência de dígitos de passa em testes estatísticos de aleatoriedade, ele contém algumas sequências de dígitos que aparentam não ser aleatórias, como a sequência de seis noves consecutivos que começa na 762.ª casa decimal da representação decimal de . Isto também é conhecido como o "ponto de Feynman" no "folclore matemático", em homenagem a Richard Feynman, porém não há nenhuma ligação conhecida com Feynman.

Transcendência

thumb|class=skin-invert-image|alt=Um diagrama de um quadrado e um círculo, ambos com área idêntica; o comprimento do lado do quadrado é a raiz quadrada de pi|Porque é um número transcendente, a quadratura do círculo não é possível em um finito número de passos utilizando régua e compasso. Em adição de ser irracional, também é um número transcendente, o que significa que não é a solução de nenhuma equação polinomial não constante com coeficientes racionais, como .

A transcendência de tem duas importantes consequências: a primeira é que não pode ser expresso utilizando uma combinação finita de raízes quadradas ou raízes -ésimas (como ou ). A segunda é que, como não é possível números transcendentes com régua e compasso, a quadratura do círculo é impossível. Noutras palavras, é impossível construir, utilizando apenas régua e compasso, um quadrado cuja área é exatamente igual à área de um dado círculo. A quadratura do círculo era um dos importantes problemas da Antiguidade Clássica. Matemáticos amadores da modernidade às vezes tentam quadrar o círculo e reivindicam sucesso — mesmo sendo de fato algo matematicamente impossível.

Frações contínuas Como é irracional, não pode ser representado como uma fração comum. Mas todo número, incluindo , pode ser representado como uma série infinita de frações uma dentro da outra, chamada de fração contínua:

Truncando a fração contínua em qualquer ponto produz uma aproximação racional para ; as quatro primeiras são , , , e . Estes números estão entre as aproximações históricas mais conhecidas e mais amplamente utilizadas da constante. Cada aproximação gerada desta forma se aproxima cada vez mais de ; ou seja, cada fração é mais próxima de que uma de denominador igual ou menor. Visto que é transcendente, por definição não é algébrico e não pode ser um irracional quadrático. Portanto, não há uma fração contínua periódica para . Por mais que frações contínuas simples (com apenas 1 nos numeradores, mostrada acima) não demonstrem nenhum padrão óbvio, diversas frações contínuas generalizadas apresentam, como, por exemplo:

A fração do meio dessas se deve ao matemático de meados do século XVII William Brouncker, veja .

Valores aproximados e dígitos Algumas aproximações de incluem: Inteiros: 3 Frações: Frações aproximadas incluem (em ordem crescente de acurácia) , , , , , , e . (Lista são termos selecionados de e .) Dígitos: Os primeiros 50 dígitos decimais são (ver )

Dígitos noutras bases Os primeiros 48 dígitos binários (base 2, chamado de bits) são (ver ) Os primeiros 36 dígitos em ternário (base 3) são (ver ) Os primeiros 20 dígitos em hexadecimal (base 16) são (ver ) Os primeiros 5 dígitos em sexagesimal (base 60) são 3;8,29,44,0,47 Ptolemeu utilizava uma aproximação de três dígitos sexagesimais, e Alcaxi expandiu isso para nove dígitos; ver (ver )

Números complexos e identidade de Euler thumb|class=skin-invert-image|alt=Um diagrama de um círculo unitário centrado na origem no plano complexo, incluindo um raio do centro do círculo até sua borda, com catetos do triângulo rotulados com as funções seno e cosseno.|A associação entre números imaginários e potências do número e pontos no círculo unitário centrado na origem no plano complexo dado pela fórmula de Euler.